Решение типовой задачи

Задача. Дана функция . Провести ее исследование с помощью производной и построить график.

Решение. В соответствии с необходимым условием экстремума находим первую производную заданной функции, при­равниваем ее нулю и решаем полученное уравнение:

.

Корни этого уравнения . Эти точки разбивают числовую ось на три интервала (—∞; —2), (—2; 5) и (5; +∞). в которых производная не меняет знак. Поэтому, выби­рая в каждом из полученных интервалов произвольную точ­ку, определяем знак производной в них. В первом и третьем интервале производная оказывается положительной (в этих интервалах функция возрастает), а во втором интервале про­изводная отрицательна (здесь функция убывает). Так как при переходе через точку производная изменяет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет мак­симум: при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, функция имеет в этой точке минимум. Вычислим значения функции в этих, двух точках:

Таким образом, точка – точка максимума функции, а точка точка ее минимума.

Находим теперь вторую производную функции и приравниваем ее к нулю:

Точка разбивает числовую ось на интервалы . В первом интервале вторая производная отрицательна, а во втором – положительна. Следовательно, в первом интервале график функции является выпуклым, а во втором – вогнутым. При этом вторая производная при переходе через точку меняет знак. Это означает. Что значение является абсциссой точки перегиба графика. Вычислим ординату этой точки: