Дотична площина та нормаль до поверхні.
Озн.1 Дотичною площиною до поверхні в точці М називається площина, яка має у собі усі дотичні до кривих, проведених на поверхні через точку М
Якщо поверхня задана рівнянням
, то рівняння дотичної площини в точці М(хо;уо) до поверхні має вигляд:
(1)
Якщо поверхня задана рівнянням 
, то рівняння (1) має вигляд:
Озн.2 Нормаль до поверхні - це пряма, яка проходить через точку дотику і перпендикулярна дотичній площині.
Якщо поверхня задана рівнянням 
, то канонічне рівняння нормалі має вигляд:
Якщо поверхня задана рівнянням , то 
.
Приклад : Знайти рівняння дотичної до нормалі в точці М(1;1;1) 
.
Розв’язання:
Нормаль: 
Невизначений інтеграл
§1 Первісна та невизначений інтеграл
Означення 1. Функція F(x) називається первісною для даної функції f(x) на проміжку (а; b), якщо 
для будь-яких (
) 
.
Теорема 1. Якщо F1(x) і F2(x) – дві первісні для функції f(x) на проміжку
(а; b), то різниця між ними дорівнює сталому числу.
Доведення. Нехай f(x) існує на проміжку (а; b), та F1(x) і F2(x) її первісні. Тобто, за означенням 1 маємо 
та 
.
За наслідком з теореми Ла-Гранжа маємо F1(x) - F2(x) =с, де с = const.
Тобто, 
.
(М1; М2)=с, с = const.
Наслідок. Якщо F(x) первісна для деякої функції f(x) то будь-яка інша первісна має вигляд F(x)+С.
Означення 2. Сукупність всіх первісних для функції f(x) називається невизначеним інтегралом від функції f(x) і позначається символом 
, де
f(x) – підінтегральна функція,
f(x)dx – підінтегральний вираз,
∫ - знак інтеграла.
Операція знаходження первісної для даної функції f(x) називається інтегруванням. Крива F(x) називається інтегральною кривою.
§2 Властивості невизначеного інтеграла
1. 
2. 
3. 
4. 
5.
, де 
6. 
Знаки d i ∫ слідуючи один за одним в будь-якій послідовності взаємознищуються.
Доведемо 5 властивість.
Нехай F(x) – первісна f(x). За означенням 2 маємо
Тоді аF(x) є первісною для функції аf(x).
Дійсно, за означенням 1 
.
§3 Таблиця невизначених інтегралів
Нехай х – незалежна змінна, функція f(x) неперервна на даному інтервалі і F(x) – її первісна.
(1)
Нехай 
, де 
- неперервна і диференційована, а 
- неперервна і розглянемо
(2)
В даному випадку складена функція 
є первісною для підінтегральної функції (2). Тоді знайдемо
Це означає
, (3)
де 
.
Тобто, мають місце (1) і (3).
Зауваження
Деякі перетворення диференціалів
1)
, де 
2)
, 
3) 
4) 
5) 
6) 
§4 Методи інтегрування
1. Підведення під знак диференціалу
Нехай потрібно знайти інтеграл від функції 
. За означенням диференціалу функції вираз 
.
Приклад.
Обчислити інтеграл 
, 
2. Інтегрування за частинами
- інтегрування за частинами
Приклад
1. 
2. 
3. Інтеграл від функції, що містить повний квадрат
Розглянемо 
(2)
він зводиться до інтегралу (1) шляхом виділення в чисельнику похідної від знаменника
Приклад: 
4. Інтегрування раціональних дробів.
Розглянемо правильний дріб 
Нехай для визначенності 
(2), де квадратичний тричлен не має дійсних коренів.
Теорема. Правильний раціональний дріб , де 
- (2) можна єдиним способом розкласти на суму найпростіших дробів.
(3)
Метод невизначених коефіцієнтів.
Коефіцієнти Аі, Ві, Мі, Nі – в рівності (3) можна визначити слідуючим чином. Рівність (3) – це тотожність, тому звівши дроби (3) до спільного знаменника, отримаємо тотожні многочлени в чисельниках зліва та справа. Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях – x, або даючи х значення отримаємо систему рівнянь для визначення отримаємо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів.
Це є метод невизначених коефіцієнтів.
Приклад: 
Зауваження: Всі неправильні дроби перетворюються у правильні діленням многочлена на многочлен, тобто виділяючи цілу частину.
Приклад: 
§ 5 Інтегрування деяких ірраціональних функцій
1) 
dx, a
2) 
dx
3) 
де 
не має рівних коренів. Якщо D< 0, а >0 
- перша підстановка Ейлера.
D>0, 
друга підстановка Ейлера
§ 6 Інтегрування тригонометричних функцій
1. 
n – цілі, >0
а) n – парне: 
б) n – непарне sin x або cos x підвести під знак диференціалу і використовують тригонометричні формули
Приклади: 
, 
2. 
,
а) m,n – хоча б одне непарне, виділити один множник і замінюючи змінну на t, отримаємо табличні інтеграли.
б) m, n – парне > 0 – знижувати степінь за тригонометричними формулами
3. 
Приклади: 
4. 
5. 
універсальна підстановка 
;
Приклад: 
§ 7 Інтегрування функцій, раціонально залежних від тригонометричних
1) 
або
Приклад: 
2)
3) 
Зауваження 1. 
Інтегрування за частинами
Зауваження 2. Існують інтеграли, які не мають рішення ні за одним з вказаних методів. Вони знаходяться лише за приблизними правилами.
Наприклад: 
і т. д.