Теорема ( Ознака збіжності послідовності ).

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

Озн.1 Числова функція y=f(n), де n-натуральне число , наз-ся послідовністю, у₁= f (1), y₂= f (2), … y_n= f (n) – наз-ся членами послідовності. у= f (n) – загальним членом послідовності.

Інколи вираз y= f (n) має вигляд f (n )= {a _n}.

Способи задання послідовності:

1) функцією

2) декількома першими членами

3) рекурентним способом, за допомогою правила, за яким можна обчислити наступний член через попередній, наприклад,

Озн.2 Послідовність наз-ся зростаючою, якщо при збільшенні натуральних значень n, члени послідовності збільшуються, якщо зменшуються, то її називають спадною.

Геометр.

y

b

1 2 n х

Озн.4 Послідовність наз. oбмеженою зверху (знизу), якщо існує таке число k, що виконується нер-сть

Наприклад {y}={1,2,1/3,4,5,1/6 …} обмеж.0

Озн.5 Послідовність, яка має границю наз-ся збіжною, в протилежному випадку розбіжною.

Властивості:

1) Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена. Доведення.

Нехай - збіжна і а – її границя. Візьмемо , N - номер починаючи з якого . Нехай а – max - обмежена.

2) Будь-яка збіжна послідовність має тільки одну границю. Доведення.

Від протилежного :має дві границі а і bі так як всі елементи. н.м.п. мають одне і теж стале значення b-а, то c=b-a=0=> b=a;

3) Якщо і то

4)Якщо змінні ® до однієї границі, то змінна також збігається до цієї границі.

5) Якщо , збіжні, то також збіжна і границя (1) .

Доведення.

Нехай .

тоді задамо і візьмемо , так, тоді (1) Ч.т.д.

6) Якщо - сбіжні, то ,

7)