Розгаянемо прямокутну матрицю

Поняття рангу матриці.

Довільні системи лінійних рівнянь

 

а11 ....а1n

А = .............

аm1....аmn

Означення 1. Рангом матриці А називається найбільший порядок мінора цієї матриці, відмінного від нуля.

Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то ранг такої матриці теж рівний нулю.

Означення 2. Будь-який, відмінний від нуля мінор матриці, порядок якого дорівнює ран­гу цієї матриці називається базисним мінором матриці.

Ранг матриці позначимо через г(А). Якщо г(А) = г(В), то матриці А і В називаються екві­валентними А ~ В.

Ранг матриці не змінюється від елементарних перетворень:

1). Заміна рядків стовпцями і навпаки;

2) Перестановка рядків матриці;

3). Закреслення рядка матриці, всі елементи якого дорівнюють нулю;

4). Множення будь-якого рядка на число відмінне від нуля і додавання його до іншого рядка.

Означення 3. Якщо в матриці будь-який ряд може бути представлений у вигляді суми інших паралельних йому рядків, помножених відповідно на числа a1, a2, ..., an, то кажуть, що данний ряд є лінійною комбінацією вказаних рядів.

Означення 4. L - паралельних рядків матриці називаються лінійно-залежними, якщо хотя б один з них являється лінійною комбінацією решти. В протилежному ви­падку лінійно-незалежні.

Теорема 1. Про базисний мінор

1. Будь-який рядок (стовпчик) матриці являється лінійною комбінацією базис­них рядків.

2. Базисні рядки матриці лінійно-незалежні

При обчисленні рангу матриці можна використати елементарні перетворення, метод при­ведення матриці до трапецевидної форми та інші. Приклад: 1). 1 2 -1 3 2 1 2 -1 3 2 1 2 -1 3 3


2 -1 3 0 1 0 -5 5 -6 -3 0 -5 5 -6 -3

А = 2 1 2 3 3 ~ 0 -5 5 -6 -3 ~ 0 0 4 -2 -1

1 2 3 1 1 0 0 4 2 -1 0 0 0 0 0

r (А) = 3

2). 3 5 7

А = 1 2 3 det А = 0 М13 = 3 5

1 3 5 r (А) = ? 1 2

Теорема 2.(Кронекера-Капеллі).

Для сумісності системи (1) а11х1+...+а1nхn = b1

..............................

Аm1х1+...+аmnхn = bn

необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу її розширеної матриці.

Що значить необхідна і достатня умова?

Доведення: 1) Необхідність

Нехай система (1) сумісна і l1, l2,..., ln - один із її розв'язків покажемо, що г(А) = г(А'), де А - матриця системи, А' - розширена матриця. Підставимо l1, l2,..., ln в систему (1).

а11l121l2+...+а1nln = b1

......................................... (2).

аm1l1+am2l2+...+аmnln = bn

Виконаємо над матрицею А' елементарні перетворення: до останього стовпця додамо перший стовпчик помножений на (-l1), другий на (-l2) ... n-ий на (-ln), тоді в силу (2) отримаємо:

а11 а21 ..... а1n ½0

А’®A’’ = ..............................

аm1 am2..... аmn ½0

Ранг не змінегься г(А') = г(А’’ ) таж як можна забрати А=А" г(А) = = г(А')

2). Достатність.

Нехай матриці А і А' мають однаковий ранг г(А) = r (a’)= г. Покажемо, що система (1) сумісна. Можна припустити, що відмінний від нуля визначник D порядку г знаходиться в лівому верхньому кутку, як матриці А, таж і А', тобто: а11 а12... а1r

D = a21 a22… a2r ¹ 0

ar1 ar2… arr

 

 

Тоді перші г рядків матриць А та А лінійно незалежні, а кожне із решти ряд­ків може бути представлене як лінійна комбінація перших г рядків. Це озна­чає, що останні m-r рядків системи являються наслідками "г" перших. Тому їх можна відкинули і дана система буде рівносильна системі:

а11х112х2+...+а1nхn = b1

.........................................

аr1х1+ar2х2+...+аrnхn = br

Які можливі випадки ?

Можливі два випадки:

1). г = n, тобто число рівнянь системи дорівнюють числу невідомих, причому визначник D цієї системи D ¹ 0. Система має єдиний розв'язок, який зна­ходиться за формулами Крамера.

2). r< n, тобто число рівнянь менше числа невідомих, тоді система має безліч розв’язків.

Приклад:

х1 - 2х2 + х4 = -3 1 -2 0 1 -3

1 - х2 - 2х3 = 1 0 5 -2 -3 10

12-2х34 = 4 0 0 0 0 0 r = 2

х1+3х2-2х3-2х4 = 7 0 0 0 0 0

х1 - 2х2 + х4 = -3 х1 = -3- х4 + 2(2+2/5х3+3/5х4)

2-2х3-3х4 = 10 х2 = 10/5 + 2/5х3 + 3/5х4

x+y+z = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x+y+2z=1 1 1 2 1 ~ 0 0 1 0 0 0 1 0 r (A)=2¹r (A’)=3

x+y+3z=2 1 1 3 2 0 0 2 1 0 0 0 1 несумісна.

 


   

 

 

§ 9. Однорідні системи лінійних рівнянь

 

Розглянемо систему рівнянь:

а11х112х2+...+а1nхn = 0

а21х122х2+...+а2nхn = 0 (1)

.........................................

аm1х1+am2х2+...+аmnхn = 0

Чи має вона розв’язки? Коли?

Цю систему назвемо однорідною. Вона завжди сумісна, так як г(А) = г(А'), і вона має три­віальний розв'язок х1 = х2 = ... = хn= 0.

Теорема 1. Для того, щоб система (1) мала не нульовий розв'язок необхідно і достатньо щоб ранг г її матриці був менший за "n".

Доведення: Дійсно, якщо г = n, то система має один розв'язок, тривіальний, якщо г<п. то (1) являється невизначеною системою, тобто має безліч розв'язків, в тому числі і безліч не нульових розв'язків.

Теорема 2. Для того, щоб однорідна система "n" лінійних рівнянь з "n" невідомими мала не нульовий розв'язок необхідно і достатньо, щоб її визначник D = 0.

Доведення: Умова D = 0 являється необхідною, так як, якщо D = 0, то система має єдиний нульовий розв'язок. Ця умова являється і достатньою, якщо D = 0, то ранг г<n і система має нескінченну множину не нульових розв'язків.

Приклад:

1 + х2 + х3 = 0 r (A)=3 Т = 3

1 - 2х2 +2х3 = 0 х1=0=х23

х1 + 2х2 + х3 = 0 ½D½=-27¹0.

 
 


1 +4х2 +2х3 = 0 r (A)=2 1 -1 4

2: х1 - х2 + 4х3 = 0 n = 3 0 7 -10

1+2х2+10х3 = 0 г < n 0 0 0

1 +4х2 = -2х3 х1 - х2 +4х3 = 0 х1 2 = -4х3 або 7х2 -10х3= 0

х2=10/7х3

х1 =10/7х3 -4х3.