Невироджені системи лінійних рівнянь

Обернена матриця

Чи можна ділити матриці?

Означення 1. Оберненою матрицею А^-1 до матриці А називається матриця того ж поряд­ку, яка задовільняє умові А • A^-1 = А^-1 • А = Е, де Е - одинична матриця того ж порядку що й А.

Означення 1. Виродженою називається матриця, визначник якої дорівнює нулю, а якщо не дорівнює нулю, то матриця називається невиродженою.

Теорема 1. (Існування та обчислення оберненої матриці).

Якщо матриця А n-го порядку невироджена, тобто |А|¹0, то існує їй обер­нена матриця:

А₁₁ А₁₂ А_n1

А^-1 = 1/detA A₂₁ A₂₂ A_n2

A_1n A_2n ... A_nn

Доведення: За означенням 1 маємо: А×А^-1 = Е = А^-1×А.

А₂₂ А₂₁ А₃₁ а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₁А₁₁+а₂₁А₂₁+а₃₁А₃₁

1/|A| A₁₂ A₂₂ A₃₂ × а₂₁ а₂₂ а₂₃ = 1/|A| =

A₁₃ A₂₃ A₃₃ а₃₁ а₃₂ а₃₃

|A| 0 0 1 0 0

= 1/|A| 0 |A| 0 = 0 1 0 = Е

0 0 |A| 0 0 1

Алгоритм знаходження оберненої матриці.

обчислити detА=0 ^так не існує

ні

обчислити алгебраїчні

доповнення

записати обернену

матрицю

Приклад:

1 3 2 1 18 5

А = 2 -1 1 А^-1 = ? А = 1/42 9 -6 3

1 3 -4 7 0 -7

Означення 1. а₁₁ x₁+a₁₂ х₂+ ... +а_1n x _n = b₁

Система (1)

a_n1 x₁+a_n2 х₂+ ... +a_nn x_n = b_n

називається невиродженою, якщо визначник матриці

a₁₁....а_1n

А= ............. відмінний від нуля.

а₁₁....а_nn

Означення 2. Матриця А складена з коефіцієнтів при невідомих

називається матрицею системи.

Означення 3. Матриця складена з елементів матриці системи та стовпчика вільних коефіцієнтів системи називається розширеною.

a₁₁... а_1n b₁

А = ............ .....

а_n1...а_nn b_n

Систему (1) записати в матричному вигляді А • Х = В, де

x₁ b ₁

X = x₂ B = b₂

x₃ b₃