Предельные теоремы теории вероятностей.

Теорема. (Неравенство Маркова). Для любой случайной величины вероятность события не превосходит произведения частного 1/e на математическое ожидание модуля случайной величины, то есть

.

Теорема. (Неравенство Колмогорова) Если независимые случайные величины имеют конечные дисперсии , то для любого справедливо неравенство

.

Пример. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2500 независимых случайных величин не превосходит 3. Оценить вероятность того, что абсолютная величина отклонения среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превосходит 0,3.

Решение. Пусть – случайная величина, о которой идет речь в задаче (). По условию , , . Требуется найти вероятность . Используя неравенство Колмогорова, получаем:

.

Таким образом, искомая вероятность не менее 96%.

Пример. Сколько надо провести измерений данной величины, чтобы с вероятностью не менее 0,95 гарантировать отклонение средней арифметической этих измерений от истинного значения величины не более, чем на 1 (по абсолютной величине), если среднее квадратическое отклонение каждого из измерений не превосходит 5.

Решение. Пусть – результат -го измерения ( ); – истинное значение величины, т.е. при любом . Необходимо найти , при котором . По условию среднее квадратическое отклонение не превышает 5, тогда дисперсия, очевидно, не превышает 5²=25. Преобразуем соотношение, стоящее в скобках и после этого применить неравенство Колмогорова, получим:

.

Отсюда получаем следующую цепочку неравенств:

, откуда и , т.е. потребуется не менее 500 измерений.

Теорема. (Неравенство Чебышева). Пусть случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию . Тогда для любого справедливо неравенство:

,

которое часто используют в виде:

.

Пример. Суточная потребность электроэнергии в населенном пункте является случайной величиной, математическое ожидание которой равно 3000 кВт/час, а дисперсия составляет 2500. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход электроэнергии в этом населенном пункте будет от 2500 до 3500 кВт/час.

Решение.Пусть – суточная потребность электроэнергии в населенном пункте. По условию , а . Требуется найти вероятность .

Крайние значения интервала отклоняются от математического ожидания на одну и ту же величину, а именно – на 500. Тогда можно записать с учетом неравенства Чебышева:

.

Т.е. искомая вероятность будет не меньше, чем 0,99.

Пример. В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница междучислом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов не превысит 20.

Решение.Случайная величина – число успехов в испытаниях – распределена по закону Бернулли (биномиальное распределение), поэтому среднее число успехов равно , а дисперсия . Тогда в силу неравенства Чебышева имеем: .

Вычислим эту же вероятность с помощью приближенной интегральной формулы Муавра – Лапласа:

.

Последнее вычисление показывает, что неравенство Чебышева дает довольно грубые оценки вероятностей.

Теорема. (Теорема Чебышева). Пусть задана бесконечная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин , для которых существуют математическое ожидание и дисперсия . Тогда для любого справедливо:

.

Суть этой теоремы состоит в том, что при возрастании числа слагаемых (т.е. одинаково распределенных случайных величин) среднее арифметическое этих слагаемых мало отличается от математического ожидания . Любое отклонение среднего арифметического случайных величин от числа при достаточно большом числе слагаемых – маловероятно.

Пример. Пусть – последовательность случайных величин, каждая из которых равна числу успехов в одном испытании Бернулли (т.е. 1 в случае успеха и 0 – в случае неудачи). Закон распределения каждой такой случайной величины имеет вид:

Здесь и . Тогда среднее арифметическое равно частоте успехов в испытаниях, и закон теорема Чебышева утверждает, что эта частота успехов стремится к вероятности успеха , если число слагаемых (т.е. число испытаний) стремится к бесконечности.

Теорема. (Центральная предельная теорема). Если – независимые одинаково распределенные случайные величины, такие, что и , то для любого вещественного выполняется равенство

.

Смысл центральной предельной теоремы заключается в том, что сумма случайных величин при надлежащем «центрировании» и «нормировании» и при увеличении числа слагаемых ( ) ведет себя почти как нормированная нормально распределенная случайная величина.

Пример. Пусть – последовательность случайных величин, удовлетворяющая условиям предыдущего примера. В этом случае сумма есть число успехов в испытаниях Бернулли. Из центральной предельной теоремы следует, что

,

где – функция Лапласа.

Тогда вероятность того, что число успехов будет заключено между и равна

Этот результат, как нам уже известно, называется интегральной формулой Муавра – Лапласа.

Пример. В продукции цеха детали отличного качества составляют 50%. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличаться от 100 не более, чем на 5?

Решение. Пусть – число деталей отличного качества в коробке, тогда при , , получим: .