ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Рассмотрим некоторые свойства экспоненциальной функции

f (x) = e^ах.

Пусть f(x) = е^ax и f(x₂) = е^ах.

Тогда

f(x) f(x) = e^ax·е^ах= e. (33)

Известно, что

(е^ах)´ = а·е^ах, (34)

т. е. экспоненциальная функция обладает следующими двумя свойствами:

f(x)·f(x) = f(x+ x), (35)

f´(x) = а·е^ах = a·f x).

Теперь рассмотрим функцию:

(φ) = cos φ + i sin φ (36)
Убедимся, что она обладает теми же свойствами:

(cos φ+ i sin φ) (cos φ ₂ + i sin φ ₂) =

= cos φ· cos φ ₂ + cos φ· i sin φ ₂ + i sin φ·cos φ ₂ + i sin φ· i sin φ ₂ =

= cos(φ+ φ ₂) + i sin(φ+ φ ₂). (37)
(cos φ + i sin φ)´ = – sin φ + i cos φ =

= sin φ + icos φ = i (cos φ + i sin φ). (38)

Полагая а = i, можем считать, что функции e^iφ и (φ) ведут себя одинаково, т. е. можно считать:

e^iφ = cos φ + i sin φ (39)

Это равенство называется формулой Эйлера[14].

Пользуясь формулой Эйлера, можно представить комплексное число

в тригонометрической форме

Z = а + i b = |Z| (cos φ + i sin φ)

и в показательной форме:

Z = |Z| e^{i argZ} = ρe^iφ (40)

Чтобы по выражению (40) найти на комплексной плоскости точку, соответствующую числу Z, достаточно отложить от начала координат на действительной оси отрезок величиной |Z| и повернуть его вокруг центра координат на угол φ в положительном направлении (рис.9)

0 X

|Z|

Рис. 9

Поэтому множитель e^iφ иногда называют оператором поворота.

В частности,

1 = е; i = е; – 1 = e; – i = e

Аргумент комплексного числа является естественным обобщением знака действительного числа. В самом деле, аргументы положительных и отрицательных чисел равны соответственно 0 и p.

Рассмотрим примеры умножения и деления комплекс­ных чисел в показательной форме.

Пример 1.

(7e)(0,5e) = 7· 0,5= 3,5

Здесь сразу видны полярные координаты (3,5; p) результата перемно-жения.

Пример 2.

(6e) : (2e) = e= 3e.