И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМАХ

ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ

Комплексные числа считаются равными, если равны соответственно их действительные и мнимые части. У равных комплексных чисел модули равны, а аргументы совпадают с точностью до слагаемого 2pк. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел смысла не имеют.

Сложение и вычитание комплексных чисел Z₁ = a₁ + i b₁ и Z₂ = a₂+ i b₂

(т. е. в алгебраической форме) производится следующим образом:

Z₁ ± Z₂ = (a₁ + i b₁) ± (a₂ + i b₂) = (a₁ ± a₂) + i (b₁ ± b₂).

Пример 1.

a) (4 + i 2) + (1 + i5) = (4 + 1) + i (2 + 5) = 5 + i 7.

b) (3 + i 5) – (6 + i З) = (3 – 6) + i (5 – 3) = – 3 + i 2.

Важно отметить, что результатом сложения комплексно-сопряжённых чисел оказывается действительное число, а результатом вычитания – мнимое.

Векторная трактовка геометрического смысла комплексных чисел позволяет особенно наглядно пояснить приведённые выше положения о сравнении комплексных чисел и правилах их сложения и вычитания. Так, например, сумма двух комплексных чисел Z₁ = 4 + i 2 и Z₂ = 1 + i 5 представляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые

(см. рис. 4).

			X

Разность двух комплексных чисел Z= 3 + i5 и Z= 6 + iЗ представ

ляется разностью векторов, изображающих отдельные слагаемые (как показано на рис. 5).

Рис. 5

Перемножив комплексные числа Z₁ = a₁ + i b₁ и Z₂ = a₂ + i b₂ по правилу перемножения многочленов (с учётом i² = – 1), получим:

(а₁ + ib₁) (а₂+ ib₂) = а₁ а₂ + а₁ ib₂ + ib₁ а₂ + ib₁ ib₂ =

= (а₁ а₂ – b₁ b₂ ) + i ( а₁ b₂ + b₁ а₂)

Пример 2.

(3 + i)(5 - i2) = [3 5 – 1(– 2)] + i [3(–2) + 15] = 17 – i.

Важно отметить, что произведение комплексно-сопряжённых чисел

Z = а + i b и = а – i b даёт сумму квадратов их действительной и мнимой частей:

(а + i b)(а – i b) = а² + b² (21)

Деление комплексных чисел осуществляется следующим образом:

= = ∙ = ∙ =

= = + i. (22) Пример 3.

Разделить число (3 – i 2) на число (– 4 + i).

Решение:

= ∙ =

= + i = – + i.

Производить умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме удобнее, чем в алгебраической.

Пусть Z₁ = | Z₁ | (cos φ₁+ i sin φ₁ ), Z₂ = | Z₂ | (cos φ₂+ i sin φ₂ ).

Тогда Z₁ ∙ Z₂ = | Z₁ |∙| Z₂ | [(cos φ₁ ∙ cos φ₂ - sin φ₁ ∙ sin φ₂) +

+ i (sin φ₁ ∙ cos φ₂ + cos φ₁ ∙ sin φ₂ )] =

= | Z₁ || Z₂ | [cos ( φ₁ + φ₂ ) + i sin ( φ₁ + φ₂ )]. (23)

Эта формула легко обобщается на случай умножения n комплексных чисел

Z₁ · Z₂ · ... · Z_n =

= | Z₁ |·| Z₂ | …·| Z_n |[(cos ( φ₁ + φ₂ + ...+ φ_n ) + i sin ( φ₁ + φ₂ + ...+ φ_n )]. (24)

| Z₁ · Z₂ ·...· Z_n| = | Z₁ |·| Z₂ |· ... ·| Z_n |. (25)

arg (Z₁ · Z₂ ·...· Z_n) = arg Z₁ + arg Z₂ + ... + arg Z_n. (26)

Таким образом, при умножении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Пример 4. [(cos+ i sin)][(cos– i sin)] =

= [ cos+ i sin][ cos (–) + i sin (–)] =

=[cos(–) + i sin(–)] = 4(cos+i sin).

Рассмотрим операцию умножения комплексных чисел с геометрической точки зрения. Сложение и вычитание комплексных чисел геометрически иллюстрируется как сложение и вычитание соответствующих векторов. Для

умножения и деления такой простой геометрической иллюстрации (с помощью соответствующих векторов) не получается. Зато можно легко дать геометрическую иллюстрацию умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме.

При умножении чисел Z₁ = | Z₁ | (cos φ+ i sin φ) и Z₂ = 3(cos + i sin )

модуль вектора, соответствующего произведению Z₁·Z₂, получается из модуля вектора, соответствующего числу Z₁, растяжением последнего в три раза и поворотом на угол (рис. 6).

X

Рис. 6

Растяжение и поворот вектора при умножении обладают перемести-тельным свойством.

Чтобы комплексное число, заданное в тригонометрической форме, возвести в целую степень, достаточно модуль числа возвести в эту степень, а аргумент умножить на показатель степени:

Zⁿ = | Z |ⁿ [cos(nφ)+ i sin(nφ)], (27)

т. е.

| Zⁿ | = | Z |ⁿ и arg Zⁿ = n·arg Z

(–1 + i)⁶ = [(cos 135° + i sin 135°)]⁶ =

= ()⁶ (cos 810°+ i sin 810°) = 8[cos(90° + 360°·2)+

+ i sin(90° + 360° · 2)] = 8[cos 90° + i sin 90°] =

= 8(0 + 1i) = 8i.

В частном случае при | Z | = 1 (cos φ + i sin φ)ⁿ =cos (n φ) + i sin (n φ) (28)

Равенство (28) называется формулой Муавра[13]. Используя формулу Муавра (28), формулу бинома Ньютона (1) и условие равенства комплексных чисел, можно получать формулы для косинуса и синуса кратных углов. Например, по формуле бинома Ньютона:

(cos φ + i sin φ)³ = cos³ φ + 3 cos² φ i sin φ – 3 cos φ sin² φ –

– i sin³ φ = (cos³ φ – 3cos φ sin² φ) + i(3cos² φ sin φ – sin³ φ ),

а по формуле Муавра:

(cos φ + i sin φ )³ = cos (3φ) + i sin(3φ).

Сравнивая результаты двух предыдущих вычислений, получим

cos Зφ + i sin 3φ = (cos³φ – 3cos φ sin² φ ) + i(3 cos² φ sin φ – sin³ φ).

По условию равенства комплексных чисел находим формулы тройных углов для косинуса и синуса: cos 3φ = cos³ φ – 3cos φ sin²φ

sin 3φ = 3 cos² φ sin φ – sin³ φ.

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме осуществляется следующим образом:

= = =

= =

= [cos(φ₁ – φ₂) + i sin(φ₁– φ₂)]. (29)

Т. е. модуль результата деления равен = (30),

а аргумент Arg= Arg Z₁ – Arg Z₂ = arg Z₁– arg Z₂ + 2pk, (31).

Таким образом, при делении комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, модуль делимого делится на модуль делителя, и из аргумента делимого вычитается аргумент делителя.

Делению комплексных чисел можно дать геометрическую интерпретацию, аналогичную интерпретации действия умножения, а именно: при делении одного комплексного числа на другое комплексное число, модуль вектора, соответствующий делимому, сжимается в число раз, равное модулю делителя, а сам вектор поворачивается в отрицательном направлении на угол, равный аргументу делителя.

Действие извлечения корня n-й степени из комплексного числа

Z = | Z |(cos θ + i sin θ)

адекватно возведению этого комплексного числа в степень :

w = = | Z |(cos+ i sin). (32)

Полагая в формуле (32) k = 0,1, 2,..., (n – 1). Получим n различных значений φ₀, φ₁,...., φаргумента w. Все остальные возможные значения аргумен-та будут отличаться от перечисленных на числа, кратные 2p.

Важные замечания:

1. Если во всех предыдущих примерах с действиями над комплексными числами запись аргументов в виде θ или φ была несущественной, то при извлечении корня из комплексного числа его аргумент следует обязательно писать в форме θ = φ + 2pk.

2. При извлечении корня из модуля впереди ставится знак «+», т.к. корень любой степени из модуля – всегда величина неотрицательная.

3. Если , значение Arg Z не определено, а при оно определено с точностью до величины, кратной .

Пример 6.

Найти комплексное число w = .

Решение:

Т. к. – 1 = cos p + i sin p, то

w= (cos+ i sin) = + i.

w= (cos+ i sin) = cos p + i sin p = –1.

w= (cos+ i sin) = cos+ i sin= – i.

Равенство (28) показывает, что модули всех корней одинаковы, а главные значения аргументов отличаются на числа, кратные . Отсюда виден способ геометрического решения задачи извлечения корня из комплексного числа. Для этого надо найти точки w(k = 0,1,..., n – 1), расположенные в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса . Для построения w₀ достаточно найти на этой окружности точку, для которой arg w₀ = = φ₀. Полярные углы всех остальных точек можно получить после­довательными поворотами полярного радиуса 0w₀ на угол .

Рис. 7.

§ 4. ПРИМЕР РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВИДА Zⁿ+ а = 0

Найдём все корни уравнения

Z+ a = 0, где a = .

Перепишем исходное уравнение в виде

Z= .

В правой части осуществим деление комплексных чисел (1 + i 0) и (1 + i) в алгебраической форме по формуле (22):

=+ i=– i.

Перейдём к тригонометрической форме по формулам (11) – (13):

= = = ,

cos φ == ; sin φ = –= –= –,

т. к. cos φ > 0 и sin φ < 0, то φ – угол четвёртой четверти.

Зададимся точностью конечного результата в 0,01, это значит, что в промежуточных расчётах необходимо иметь три знака после запятой.

Arg Z= arccos + 2pk » 0, 955 + 2pk,

Z= [cos(– 0,955 + 2pk) + i sin(– 0,955 + 2pk)],

Z = (cos+ i sin) =

= 0,872[cos(– 0,239 + 1, 571·k) + i sin(– 0,239 + 1,571·k)]

Z= 0,872[cos(– 0,239) + i sin(– 0,239)] = 0, 872[0,972 + i (– 0,237)] =

= 0,848 – i 0,207 » 0,85 – i 0,21

Здесь целесообразно напомнить, что аргументы синуса и косинуса измерялись в радианной мере. Чтобы вычислить значение аргумента φ₀ в градусной мере, необходимо воспользоваться соотношением

φ₀ = » –13, 7.

Итак, модуль каждого из четырёх корней уравнения равен 0,87, а разница ∆φ между аргументами корней составляет

∆ φ = = 90.

Геометрическое решение имеет вид, представленный на рис. 8

Y                 Z2           ∆φ               0,87 0, 0,87       Z0         Z3

Рис. 8

Геометрическое решение даёт наглядную картину распределения корней на комплексной плоскости, но не является точным, поэтому требуется аналитическое решение поставленной задачи:

Z= 0,872[cos(– 0,239 + 1,571·1) + i sin(– 0,239 + 1,571·1)] =

= 0,965[cos 1,332 + i sin1,332] = 0,872(0,237 + i 0,972) = 0,207 + i 0,848 »

» 0,21 + i 0,85.

Z₂= 0, 872[cos(– 0,239 + 1,571·2) + i sin(– 0,239 + 1,571·2)] =

= 0, 872[cos 2,903 + i sin 2,903] = 0, 872(– 0,972 + i 0,236) »

» – 0,848 + i 0,206 » – 0,85 + i 0,21.

Z₃ = 0, 872[cos(– 0,239 + 1,571· 3) + i sin(– 0,239 + 1,571· 3)] =

= 0, 872[cos4, 474 + i sin4,474] = 0,872[– 0,236 + i (- 0,972)] =

= – 0,206 – i 0,848 » – 0,21 – i 0,85.

Итак,

Z» 0,85 – i 0,21

Z₁» 0, 21 + i 0,85.

Z₂» – 0, 85 + i 0,21.

Z₃» – 0, 21 – i 0,85.