Показатели надежности восстанавливаемых систем

 

Все состояния системы S можно разделить на подмножества:

SK S – подмножество состояний j = , в которых система работоспособна;

SM S – подмножество состояний z = , в которых система неработоспособна.

S = SK SM ,

SK SM = 0.

1. Функция готовности Г(t) системы определяет вероятность нахождения системы в работоспособном состоянии в момент t

где Pj(t) – вероятность нахождения системы в работоспособном j-м состоянии;

Pz(t) – вероятность нахождения системы в неработоспособном z-м состоянии.

 

2. Функция простоя П(t) системы

3. Коэффициент готовности kг.с. системы определяется при установившемся режиме эксплуатации (при t ). При t устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются

Коэффициент готовности kг.с. можно рассчитать по системе (2) дифференциальных уравнений, приравнивая нулю их левые части dPi(t)/dt = 0, т.к. Pi = const при t . Тогда система уравнений (2) превращается в систему алгебраических уравнений вида:

(3)

и коэффициент готовности:

есть предельное значение функции готовности при установившемся режиме t .

4. Параметр потока отказов системы

(4)

где jz – интенсивности (обобщенное обозначение) переходов из работоспособного состояния в неработоспособное.

5. Функция потока отказов

(5)

6. Средняя наработка между отказами на интервале t

(6)

Примечание: При t , когда Pj(t = ) = Pj( ) = Pj , средняя наработка между отказами

T0= kг.с./ ,

где () = .

 

В качестве примера вычисления показателей надежности, рассмотрен восстанавливаемый объект, у которого поток отказов простейший (пуассоновский) с параметром потока

= = 1/ T0,

а распределение времени восстановления подчиняется экспоненциальному распределению с интенсивностью восстановления

= 1/ TВ ,

где T0 – средняя наработка между отказами;

TВ – среднее время восстановления.

 

 

P0(t) – вероятность работоспособного состояния при t;

P1(t) – вероятность неработоспособного состояния при t.

Система дифференциальных уравнений:

(7)

Начальные условия: при t = 0 P0(t = 0) = P0(0) = 1; P1(0) = 0, поскольку состояния S0 и S1 представляют полную группу событий, то

P0(t) + P1(t) = 1. (8)

Выражая P0(t) = 1 - P1(t), и подставляя в (7) получается одно дифференциальное уравнение относительно P1(t):

dP1(t)/dt = (1 – P1(t)) - P1(t). (9)

Решение уравнения (9) производится с использованием преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа для вероятностей состояния Pi(t):

т. е. Pi(S) = L{Pi(t)} – изображение вероятности Pi(t).

Преобразование Лапласа для производной dPi(t)/dt:

После применения преобразования Лапласа к левой и правой частям уравнения, получено уравнение изображений:

(9)

где L{} = L{1} = /S .

При P1(0) = 0

SP1(S) + P1(S)( + ) = /S.

P1(S)( S + + ) = /S,

откуда изображение вероятности нахождения объекта в неработоспособном состоянии:

(10)

Разложение дроби на элементарные составляющие приводит к:

Применяя обратное преобразование Лапласа, с учетом:

L{f(t)} = 1/S, то f(t) = 1;

L{f(t)} = 1/( S + a), то f(t) = e-at,

вероятность нахождения объекта в неработоспособном состоянии определяется:

(11)

Тогда вероятность нахождения в работоспособном состоянии P0(t) = 1 - P1(t), равна

(12)

С помощью полученных выражений можно рассчитать вероятность работоспособного состояния и отказа восстанавливаемого объекта в любой момент t.

Коэффициент готовности системы kг.с.. определяется при установившемся режиме t , при этом Pi(t) = Pi = const, поэтому составляется система алгебраических уравнений с нулевыми левыми частями, поскольку

dPi(t)/dt = 0.

Так как kг.с есть вероятность того, что система окажется работоспособной в момент t при t , то из полученной системы уравнений определяется P0 = kг.с .

При t алгебраические уравнения имеют вид:

(13)

Дополнительное уравнение: P0 + P1 = 1.

Выражая P1 = 1 - P0 , получаем 0 = P0 - (1 - P0 ), или = P0 ( + ), откуда

(14)

Остальные показатели надежности восстанавливаемого элемента:

- функция готовности Г(t), функция простоя П(t)

Г(t) = P0 (t); П(t) = 1 - Г(t) = P1(t).

- параметр потока отказов (t) по (4)

(t) = P0(t) = Г(t).

При t (стационарный установившийся режим восстановления)

(t) = () = = P0 = kг.с.

- ведущая функция потока отказов (t )

- средняя наработка между отказами (t )

t0= kг.с./ = kг.с./ kг = 1/ .

На рис. приведено изменение вероятности нахождения объекта в работоспособном состоянии.

Рис. 13.1

 

Анализ изменения P0(t) позволяет сделать выводы:

1) При мгновенном (автоматическом) восстановлении работоспособности (= )

/ = 0 и P0(t) = 1.

2) При отсутствии восстановления ( = 0)

/ = и P0(t) = e-t,

и вероятность работоспособного состояния объекта равна ВБР невосстанавливаемого элемента.

Некоторые дополнения по применению метода дифференциальных уравнений для оценки надежности.

Метод дифференциальных уравнений может быть использован для расчета показателей надежности и невосстанавливаемых объектов (систем).

В этом случае неработоспособные состояния системы являются «поглощающими» и интенсивности выхода из этих состояний исключаются.

Для невосстанавливаемого объекта граф состояний имеет вид:

 

 

Система дифференциальных уравнений:

Начальные условия: P0 (0) = 1; P1(0) = 0.

Изображение по Лапласу первого уравнения системы:

После группировки:

откуда

Используя обратное преобразование Лапласа, оригинал вероятности нахождения в работоспособном состоянии, т. е. ВБР к наработке t: