Методические рекомендации 6 страница

Подставив сюда (27,8), производим интегрирование по частям; интеграл по бесконечно удаленной поверхности исчезает, а в ос­тавшемся интеграле по объему б-функция устраняется тривиаль­ным образом. Заметив также, что dGijIdx'k — —dGijIdxk, получим окончательно

и.(г) = -Wm j ni-^G_u(r-r')dr. (27,10) ^sd

Тем самым поставленная задача решена *).

Наиболее простой вид деформация (27,10) имеет вдали от зам­кнутой дислокационной петли. Если представлять себе петлю расположенной вблизи начала координат, то на больших (по сравнению с ее линейными размерами) расстояниях в производной dG_tj/dx_h можно положить г — г' « г и вынести ее за знак ин­теграла. Тогда получим

"iM^-Wlm"²!^, (27,11)

где

= S A, Si = f «i = -|- e_№, <jj x_fe dxi. (27,12)

Компоненты аксиального вектора S равны площадям, ограничен­ным проекциями петли D на плоскости, перпендикулярные соот­ветствующим координатным осям; тензор d_ik естественно назвать тензором дислокационного момента. Компоненты тензора G_u являются однородными функциями первого порядка от координат х, у, г (см. с. 44). Поэтому из (27Д1) видно, что щ со 1/г^[6]. Соот­ветствующее же поле напряжений a_ih со Mr^[7].

Легко выяснить также характер зависимости от расстояния упругих напряжений вокруг прямолинейной дислокации. В ци­линдрических координатах г, г, ср (с осью г вдоль линии дислока­ции) деформация будет зависеть только от г и ср. Интеграл (27,3) не должен меняться, в частности, при произвольном подобном изме­нении размеров любого контура в плоскости х, у. Очевидно, что это возможно, лишь если все ш_а со Mr. Той же степени Mr будет пропорционален и тензор и_ш, а с ним и напряжения! с% со Mr ¹).

Хотя до сих пор мы говорили только о дислокациях, но полу­ченные формулы применимы также и к деформациям, вызываемым другого рода дефектами кристаллической структуры. Дислокации — линейные дефекты структуры. Наряду с ними существуют дефекты, в которых нарушение правильной структуры распро­страняется по области вблизи некоторой поверхности ^[8]). С макро­скопической точки зрения такой дефект может быть описан как поверхность разрыва, на которой вектор смещения и испытывает скачок (напряжения же с% остаются непрерывными в силу усло­вий равновесия). Если на всей поверхности величина b скачка одинакова, то в отношении создаваемых им деформаций такой разрыв ничем не отличается от дислокации (расположенной вдоль его края). Разница состоит лишь в том, что вектор b не равен пе­риоду решетки. Положение же поверхности S_c', о которой была речь выше, перестает быть произвольным и должно совпадать с фак­тическим расположением физического разрыва. С такой поверх­ностью разрыва связана определенная дополнительная энергия, что может быть описано путем введения соответствующего коэф­фициента поверхностного натяжения.

Задачи

1. Написать дифференциальные уравнения равновесия для дислокацион-
ной деформации в изотропной среде, выраженные через вектор смещения

Решение. В терминах тензора напряжений или тензора деформации уравнения равновесия имеют обычный вид: да^/дх^ = 0 или, подставив С(ь .из (5,11):

dx_h ^ 1— 2о дх_г ^(l>

Но при переходе к вектору и надо учесть дифференциальное условие (27,6). Умножив (27,6) на е^п и упростив по I, k, получим ^г)

Переписав (1) в виде

1dw_lh 1 баяма дш_п

2 дх_к ~^[9]~ 2 dx_ft 1— 2а их, ~ и подставив сюда (2), находим

Переходя теперь к и, согласно (27,2), находим искомое уравнение для неодно­значной функции и (г) в виде

^Ди+ t J.2g Vdivu=[xb]6(l). (3)

Решение этого уравнения должно удовлетворять условию (27.1).

2. Определить деформацию вокруг прямолинейной винтовой дислокация
в изотропной среде.

Решение. Выбираем цилиндрические координаты z, г, ф с осью г вдоль линии дислокации; вектор Бюргерса: Ь_х — Ь_ч — <3, b_z — Ь. Из соображений симметрии очевидно, что смещение а параллельно оси 2 и не зависит от коор­динаты z. Уравнение равновесия (3) задачи 1 сводится к Ьм_г = 0. Решение, удовлетворяющее условию (27,1) ^[10]):

У тензоров «jft и отличны от нуля лишь компоненты

_ b цЬ

^К2Ч,~"4ЙГ' ^СТг,Р-"2НГ'

так что деформация представляет собой чистый сдвиг.

Свободная энергия дислокации (на единицу ее длины) дается интеграломлогарифмически расходящимся на обоих пределах. В качестве нижнего предела следует взять величину порядка атомных расстояний (—Ь), на которых дефор­мация велика и макроскопическая теория неприменима. Верхний же предел определяется размерами порядка длины L дислокации. Тогда

4я о

Энергию же деформации в «сердцевине» дислокации вблизи ее оси (в области с площадью сечения —б²) можно оценить как —рб². При In (Lib) ~S> 1 эта энер­гия мала по сравнению с энергией поля упругой деформации ¹).

3. Определить внутренние напряжения в анизотропной среде вокруг вин­товой дислокации, перпендикулярной плоскости симметрии кристалла.

Решение. Выбираем систему координат х, у, г так, чтобы ось г совпа­дала с линией дислокации (и снова пишем Ь_г = Ь). Вектор и опять имеет лишь компоненту и_г= и (х, у). Так как плоскость х, у является плоскостью симме­трии, то равны нулю все компоненты тензора ^шт. У которых индекс г встре­чается нечетное число раз. Поэтому отличны от нуля только две компоненты тензора а^:

°"xz — ^xzxz —q^ г f-xzyz ~~fiy~i »

r, — i to . . ди

°yz — Kyzxz -fa- "Г ^yzyz —q^- •

Введем двухмерные вектор о и тензор Я_ар: а_а = cr_az, Я,_ар = Я_а2р_г (а = 1, 2). Тогда

а уравнение равновесия записывается в виде div о = 0. Искомое решение этого

уравнения должно удовлетворять условию (27,1); (j) Vu d\ = b.

В таком виде задача совпадает с задачей о нахождении индукции и напря­женности магнитного поля (роль которого играют а и V«) в анизотропной среде (с магнитной проницаемостью Я_ар) вокруг прямолинейного тока, сила которого / = cblin. Воспользовавшись известным из электродинамики решением этой задачи, найдем

0"а_г = '

2" ]f\X\X-}_&,x_a,_Xfi,

где — определитель тензора А,_ар (см. VIII, задача 5 к §30).

4. Определить деформацию вокруг прямолинейной краевой дислокации в изотропной среде.

Решение. Пусть ось г направлена вдоль линии дислокации, а вектор Бюргерса: b_x = b, b_y = b_z = 0. Из симметрии задачи очевидно, что вектор деформации лежит в плоскости х, у и не зависит от г, так что мы имеем дело с пло­ской задачей. Ниже в этой задаче все векторы и векторные операции — двух­мерные в плоскости х, у.

Будем искать решение уравнения

(см. задачу 1; j — единичный вектор вдоль оси у) в виде u = и^<0> -j- w, где и<°> — вектор с составляющими

* 2л ^ф[11] У 2л

(мнимая и вещественная~части от (Ь/2л) In (х + iy))\ г, ф — полярные коорди­наты в плоскости х, у. Этот вектор удовлетворяет условию (27,1). Поэтому задача сводится к нахождению однозначной функции w. Поскольку, как легко убе­диться,

divu⁽⁰'=0, Au⁽⁰⁾ = fcj6(r), то w удовлетворяет уравнению

Aw + -j—V div w = — 2b']0 (r).

Это — уравнение равновесия под действием сил, сосредоточенных вдоль оси г с объемной плотностью

^Щ Mr)

(1 + 0)

(ср. уравнение (1) в задаче к § 8). С помощью найденного в той же задаче тен­зора Грина для неограниченной среды нахождение w сводится к вычислению интеграла

8я(1— о)

о

В результате получим

Ь ( . У , 1 ху \

»[12] ⁼ lH^arctg-r⁺ 2(1-с) х[13] + у[14] Г

•{атг^от¹¹¹у[15]+?+ ₂₍₁L₀)-wtt)-

"V 2л

Вычисленный отсюда тензор напряжений имеет декартовы компоненты

У(3х[16] + У[17]) „ _hR У(х[18]-У[19]) _п __ьр х(х[20]-у[21])

или полярные

, „ sin ф cos ф

°Vr = °фф = — оВ —-—, о_щ = bD —у^-,

где обозначено В = р,/2я (1 — а).

5. Бесконечное число одинаковых параллельных прямолинейных краевых дислокаций в изотропной среде расположены в одной плоскости, перпендику­лярной их векторам Бюргерса, на одинаковых расстояниях h друг от друга. Найти напряжения сдвига, создаваемые такой «дислокационной стенкой» на рас­стояниях, больших по сравнению с Л.

Решение. Пусть дислокации параллельны оси z и расположены в пло­скости у, г. Согласно результатам задачи 4 суммарное напряжение, создаваемое всеми дислокациями в точке х, у, дается суммой

, .„ V[22] х^а —(» —пй)^а

Перепишем эту сумму в виде

« \ Кг, «Ч ■ - ⁹¹ Р)

,„ а Г., „. . а/ (а, в) 1
а_жг/ = -6в—^(а, Р) + а----------------- ^' ^н; j ,

СО

/(а, р)= _{a2 + (R}__n)a . «=T"' ^Р==Т"

Согласно формуле суммирования Пуассона

оо оо оо

П——оо ft——оо —оо

найдем

оо ОО 00

*-00 ft = l

я , 2я

^_2]в-^2я*^асо5 2я*р.

fc=i

При а = х/А > 1 в сумме по k можно оставить лишь первый член, и в резуль­тате получим

Таким образом, напряжения убывают при удалении от стенки по экспоненци­альному закону.

6. Определить деформацию изотропной среды вокруг дислокационной петли (J. М. Burgers, 1939).

Решение. Исходим из формулы (27,10). Тензор ^шт Д^ля изотропной среды согласно (5.9) и (5.11) может быть представлен в виде

Тензор Грина для изотропной среды найден в задаче к § 8 и может быть пред­ставлен как

°» ^(R) = leW-o)* ^{(3 - ^{40) 6ik} + ^Vm)-

Здесь R = (г — г') — радиус-вектор от элемента dt' (в точке г') к точке наблю­дения деформации (точка г); v = R/R — единичный вектор в этом направлении. Подставив эти выражения в (27,10) и произведя под интегралом требуемые диф­ференцирования, получим после вычисления

^в(r)=8я(7-^До)J ~h~^{{b(vdV)+фг)di}'~^v(bdV)}+

\~~v(bv)(ydi'). (1)

Стоящие здесь интегралы можно выразить через интегралы по контуру D — по петле дислокации. Для этого замечаем следующие формулы:

(j)-i-[bdl']= j-^-{(bv)df' —v(bdf')},

D ^SD

<^[bx]d\'=-J_L{bdf' + (bv)(vdf')}.

D ^SD

Интегралы в правых частях равенств получаются из контурных интегралов в левой стороне применением теоремы Стокса, согласно которой преобразование осуществляется заменой dV -*■ [df'-V'J (где V' = д/дт'); поскольку подын­тегральное выражение зависит только от разности г — г', это преобразование эквивалентно замене dl' ->— [dt'-y] (где V = d/dr). Введем также телесный угол Q, под которым петля D видна из точки наблюдения, согласно определе­нию

Тогда поле смещений представится в виде

■ « " ^Ь ЧЗГ + "4Т§-W^[ЪЛ'^] + ШЙГ=^)^VФ^(lbv]dV)-

D D

Неоднозначность этой функции заключена в первом члене — угол Q меняется на 4я при обходе вокруг линии D.

Вдали от петли выражение (1) сводится к

" » « " te/l-a)!!' ^{§ ^ + ^{Ь (SV)} - ^{V (Sb)}} + to(lio)j?«^{(sv) v}-Эту формулу можно было бы получить и непосредственно из (27,11—12).

§ 28. Действие поля напряжений на дислокацию

Рассмотрим дислокационную петлю D в поле упругих напря­жений о$, созданных действующими на тело внешними нагруз­ками, и вычислим силу, действующую на нее в этом поле. Со­гласно общим правилам для этого надо найти работу bR_D, произ­водимую над дислокацией при бесконечно малом ее смещении.

Вернемся к введенному в § 27 представлению о дислокацион­ной петле D как линии, на которую опирается поверхность (S_D) разрыва вектора смещения; величина разрыва дается формулой (27,7). Смещение линии дислокации D приводит к изменению по­верхности S_D. Пусть бх — вектор смещения точек линии D. Сме­щаясь на бх, элемент dl длины линии описывает площадь бт = = [6x.dll == [бх-т] dl, чем и определяется приращение площади поверхности S_D. Поскольку речь идет теперь о реальном, физиче­ском смещении дислокации, необходимо учесть, что указанная операция сопровождается изменением физического объема среды. Поскольку смещения и точек среды по обе стороны поверхностиразличаются на величину Ь, то это изменение дается произведе­нием

6У = bdf = [bx-x]hdf = bx[xb]df. (28,1)

В связи с этим возможны две существенно различные физиче­ские ситуации. В одной из них 6V = 0, смещение линии дислока­ции не связано с изменением объема. Так будет, если смещение происходит в плоскости, определяемой векторами т и Ь. Эту пло­скость называют плоскостью скольжения данного элемента дисло­кации. Огибающую семейства плоскостей скольжения всех эле­ментов длины петли D называют поверхностью скольжения дисло­кации; она представляет собой цилиндрическую поверхность с об­разующими, параллельными Еектору Бюргерса b *). Физическая особенность плоскости скольжения состоит в том, что только в ней возможно сравнительно легкое механическое перемещение дисло­кации (о котором в этом случае обычно говорят как о ее скольже­нии) ^[23]).

С изменением площади поверхности S_D при смещении дисло­кации связано изменение сингулярной деформации (27,8), сосре­доточенное на линии D. Его можно представить в виде

8«Й^Л) = Vi {h [бх • x]_k + b_k [бх • т],} б (|), (28,2)

где б (1) — введенная в § 27 двухмерная 6-функция. Подчеркнем, что эта деформация однозначно определяется формой линии D и смещением бх, в отличие от выражения (27,8), зависящего от произвольного выбора поверхности S_D.

Выражение (28,2) описывает локальную неупругую остаточную деформацию (ее называют пластической), не сопровождающуюся упругими напряжениями. Связанная с ней работа, совершаемая в конечном счете внешними источниками, дается интегралом

\ о% 6u_tkdV

(ср. (3,2) ), где под bu_ik надо понимать полное геометрическое изменение деформации. Оно складывается из упругой и пластиче­ской частей; нас интересует здесь только работа, связанная с пла­стической частью ^[24]). После подстановки Ьи%^л) из (28,2), ввиду на­личия в нем б-функции, остается интегрирование только вдоль длины дислокационной петли D:

8R_D = <j) o$e_tlm 8х_гх_т dl. (28,3)

d

Коэффициент при 8xi в подынтегральном выражении есть сила f_u действующая на единицу длины линии дислокации. Таким обра­зом,

fi = е_шх_к<з\%Ь_т (28,4)

(М. О. Peach, J. S. Kohler, 1950). Отметим, что сила f перпендику­лярна вектору т, т. е. линии дислокации.

Формула (28,3) допускает наглядную интерпретацию. Согласно сказанному выше смещение элемента линии дислокации сводится к разрезанию некоторой площадки df и сдвигу верхнего берега разреза относительно нижнего на длину Ь. Приложенная к df сила внутренних напряжений есть в$dfk, а производимая этой силой

при сдвиге работа есть.bio^dfk-

Поскольку в написанном виде формула (28,4) относится только к перемещению в плоскости скольжения, имеет смысл сразу же написать проекцию силы f на эту плоскость. Пусть и — единичный вектор нормали к линии дислокации в плоскости скольжения. Тогда

/_± = f_x = е_шщхф_то\^е1

или

/± = Vio\^eXi, (28,5)

где v= [хт] — вектор нормали к плоскости скольжения. По­скольку векторы b и v взаимно перпендикулярны, то (выбрав вдоль них две из координатных осей) мы видим, что сила /_х опре­деляется всего одной из компонент тензора а\т.

Если же смещение дислокации происходит не в плоскости скольжения, то 8V ф 0. Это значит, что смещение берегов разреза привело бы к появлению избытка вещества (когда один берег «пе­рехлестывает» другой) или к его недостаче (образование щели между раздвигающимися берегами). Этого нельзя допустить, если полагать, что в процессе движения дислокации сплошность среды не нарушается и ее плотность остается неизменной (с точностью до упругих деформаций). Устранение избыточного вещества или заполнение его нехватки происходит в реальном кристалле диффу­зионным способом (ось дислокации становится источником или стоком диффузионных потоков вещества) *). О перемещении

¹) Так, изображенная на рис. 22 дислокация может перемещаться в пло­скости у, г лишь за счет диффузионного ухода вещества из «лишней» полупло­скости.

дислокации, сопровождающемся диффузионным «залечиванием» дефектов сплошной среды, говорят как о ее переползании ^х).

Из сказанного ясно, что, допустив переползание дислокации в качестве возможного ее виртуального перемещения, необходимо считать, что оно, как и скольжение, происходит без локального изменения объема среды. Это значит, что из деформации (28,2) надо вычесть ответственную за изменение объема часть ^г/зоЪ«1"^л\ т.е. описывать пластическую деформацию тензором

виЙ^л)= {V_J6|[«x.t]_)k-fVAiex-t]_l-VA_fcbl6x.t]}6(S). (28,6)

Соответственно вместо (28,4) получим следующую формулу для действующей на дислокацию силы [25]):

U = e_tkt%_kb_m (о|Й —ъ'ЬывЩ (28,7)

(J. Weertman, 1965). Полная сила, действующая на всю дислока­ционную петлю, равна

Fi = е_шЬт § —\- ЬывЯ) dx_k. (28,8)

Она отлична от нуля только в неоднородном поле напряжении (при а^{'т = const интеграл сводится к ф dxk = о). Если на про­тяжении петли поле напряжений меняется мало, то

F₍=е_шЬт (ой-4~⁰"n°™)§^xp^dxk

d

(петлю представляем себе расположенной вблизи начала коорди­нат). Входящие сюда интегралы образуют антисимметричный тен­зор

<§>x_pdx_h= — ф x_kdx_r

Имея это в виду, легко выразить силу через введенный в (27,12) дислокационный момент d_M ³):

Эо^(е> 1 / да^<е) да^(е) \

В однородном поле напряжений эта сила, как уже было указано, обращается в нуль. При этом, однако, на петлю действует момент сил

K_t = ец_тфх_г}_т<Н,

который тоже можно выразить через дислокационный момент'
Ki = e_tkld_km (а{Й - */»в/та#)- (28,10)

задачи

1. Найти силу взаимодействия двух параллельных винтовых дислокаций
в изотропной среде.

Решение. Сила, действующая на единицу длины одной дислокации в ноле напряжений, создаваемых второй дислокацией, определяется по фор­муле (28,4) с помощью результатов задачи 2 § 27. Она имеет радиальное напра­вление и равна

f = р.^&а/гяг.

Дислокации одного знака (Ь^ > 0) отталкиваются, а дислокации разных зна­ков (с>1&2<1 0) притягиваются.

2. Прямолинейная винтовая дислокация расположена параллельно пло-
ской свободной поверхности изотропной среды. Найти действующую на дисло-
кацию силу.

Решение. Пусть плоскость у, г совпадает с поверхностью тела, а дисло­кация параллельна оси г и имеет координаты х — х₀, у = 0.

Поле напряжений, оставляющее поверхность среды свободной, описывается суммой полей дислокации и ее зеркального отражения в плоскости у, г, как если бы они были расположены в неограниченной среде:

_ _ ±Ь_ Г х — х„________________ х + х₀ ]

°»^z- 2л I (х-х₀)* + у* (х+х₀)* + у* Г

Такое поле действует на рассматриваемую дислокацию с силой, равной при­тяжению со стороны ее зеркального изображения, т. е. дислокация притягива­ется к поверхности среды с силой

/ = рЬЩпхо.

3. Найти силу взаимодействия двух параллельных краевых дислокаций
в. изотропной среде, расположенных в параллельных плоскостях скольжения.

Решение. Пусть плоскости скольжения параллельны плоскостям х, 2, а ось г параллельна линиям дислокаций; ка ив задаче 4 § 27, полагаем т_г = = —I, Ь_х = Ь. Тогда сила, действующая на единицу длины дислокации в поле упругих напряжений а^, имеет компоненты

fx — bO_xy, fg = —Ьа_хх.

В данном случае о^ определяются выражениями, найденными в задаче 4 § 27. Если одна дислокация совпадает с осью г, то она действует на вторую дислока­цию, проходящую через точку х, у на плоскости х, у, с силой, компоненты кото­рой в полярных координатах равны

, bibJB с Ьф_гВ , _ _ р.

Проекция же силы на плоскость скольжения равна

Она обращается в нуль при ф = п/2 и при ф = л/4. Первое из этих положений соответствует устойчивому равновесию при b_xb₂ > 0, а второе— при b_xb₂<< 0.

§ 29. Непрерывное распределение дислокаций

Если в кристалле имеется одновременно много дислокаций, находящихся на относительно малых (хотя, конечно, и больших по сравнению с постоянной решетки) расстояниях, то становится целесообразным их усредненное рассмотрение. Другими словами, рассматриваются «физически бесконечно малые» элементы объема кристалла, через которые проходит достаточно много дислока­ционных линий.

Формулировка уравнения, выражающее основное свойство дислокационных деформаций, достигается естественным обобще­нием уравнения (27,6). Введем тензор p_ih (тензор .плотности дис­локаций) такой, чтобы его интеграл по поверхности, опирающейся на любой контур L, был равен сумме b векторов Бюргерса всех дислокационных линий, охватываемых этим контуром:

\pikdf_t = b_h. (29,1)

Непрерывные функции p_ift описывают распределение дислокаций в кристалле. Этот тензор заменяет собой теперь выражение в пра­вой части уравнения (27,6):'

еит ^ = -р_№. (29,2)

Как видно из этого уравнения, тензор p_ih должен удовлетворять условию

-|gL = 0 (29,3)

(в случае одиночной дислокации это условие выражает собой про­сто постоянство вектора Бюргерса вдоль линии дислокации).

При таком рассмотрении дислокаций тензор w_ih становится первичной величиной, описывающей деформацию и определяющей тензор деформации согласно (27,4). Вектор же смещения и, кото­рый был бы связан с Wi_h определением (27,2), при этом вообще не может быть введен (это ясно уже из того, что при таком опреде­лении левая сторона уравнения (29,2) тождественно обратилась бы в нуль во всем объеме кристалла).

До сих пор мы предполагали дислокации неподвижными. Выяс­ним теперь, каким образом должна быть сформулирована система уравнений, позволяющая в принципе определить упругие дефор­мации и напряжения вереде, в которой дислокации совершают за­данное движение ^[26]).

Уравнение (29,2) не зависит от того, покоятся или движутся
дислокации. При этом тензор w_ih по-прежнему остается величи-
ной, определяющей упругую деформацию; его симметричная часть
есть тензор упругой деформации, связанный обычным образом
законом Гука с тензором напряжений. ^.^^^_^_т__|

Это уравнение, однако, теперь недоста- Г_________________

точно для полного формулирования задачи. _Г___________________

Полная система уравнений должна опреде- 1 '________________

лять также и скорость v перемещения точек 111111 среды.

Но при этом необходимо учесть, что дви-
жение дислокаций сопровождается, помимо | | \ | | 1
изменения упругой деформации, также и \~

изменением формы кристалла, не связан- i Г| ным с возникновением напряжений — пла-стической деформацией. Как уже упомина­лось, движение дислокаций как раз и пред­ставляет собой механизм пластической дефор- i—i—i—i i i

мации. (Связь движения дислокаций с пла- ---------------------------------

стической деформацией ясно демонстрируется >-------------------------- 1-

рис. 25: в результате прохождения краевой ----------------------------------

дислокации слева направо верхняя — над i—I—I—I—1—1—

плоскостью скольжения — часть кристалла

оказывается сдвинутой на один период ре- ,—.—.—.—, . .

шетки; поскольку решетка в результате -------------------------------------

остается правильной, то кристалл остается .-------------------------------------

ненапряженным.) В противоположность ___________________

упругой деформации, однозначно связанной 111111
с термодинамическим состоянием тела, пла- _{Рис 25}

стическая деформация является функцией процесса. При рассмотрении неподвижных дислокаций вопрос о разделении упругой и пластической деформа­ций не возникает: нас интересуют при этом лишь напряжения, не зависящие от предыдущей истории кристалла.

Пусть и — вектор геометрического смещения точек среды, от­считываемый, скажем, от их положения перед началом процесса деформации; его производная по времени u = v. Если образовать с помощью вектора и тензор «полной дисторсии» W_tk = du_kldx_u то мы получим его «пластическую часть» wa"\ вычтя из Wa тен-

зор «упругой дисторсии», совпадающий с фигурирующим в (29,2) тензором w_ik. Введем обозначение

-/i* = -gr-:- (29.4)

симметричная часть j_lk определяет скорость изменения тензора пластической деформации: изменение ы|1^л) за бесконечно малое время 6* равно

М*"^} = -4"(/'*+/*')« (29.5)

(Е. Kroner, G. Rieder, 1956). Отметим, в частности, что если пласти­ческая деформация происходит без нарушения сплошности тела, то след тензора j_ih равен нулю. Действительно, пластическая де­формация не приводит к растяжению или сжатию тела (которые всегда связаны с возникновением внутренний напряжений), т. е. и&^л) = 0, а потому и j_kk = —dulTfdt = 0.

Подставив в определение (29,4) чи%^л)== — ш,*, запишем его в виде уравнения

■тг—+ ^(29,6)

связывающего скорости изменения упругой и пластической де­формаций. Здесь ji_k надо рассматривать, как заданные величины, которые должны удовлетворять условиям, обеспечивающим сов­местность уравнений (29,6) и (29,2). Эти условия получаются диф­ференцированием (29,2) по времени и подстановкой в него (29,6); они имеют вид уравнения

-^- + ^-^- = 0. (29,7)

Уравнения (29,2), (29,6) вместе с динамическими уравнениями