Методические рекомендации 2 страница

~§- = [Ш]. (18,2)

Умножив это равенство с обеих сторон векторно на t, получаем
0=[t-2r]+t(tQ). (18,3)

Направление вектора касательной в каждАй точке совпадает с направлением оси £ в этой же точке. Поэтому (tQ) = Я. Введя единичный вектор п главной нормали так, что dXldl = n/R, можно, следовательно, написать:

Q = -~[tnJ + tQ. (18,4)

Первый член справа представляет собой вектор с двумя компо­нентами Щ, Я„. Единичный вектор [tn] называется, как изве­стно, единичным вектором бинормали. Таким образом, компо­ненты й|, Qy, образуют вектор, направленный по бинормали к стержню и по абсолютной величине равный его кривизне 1/R.

Введя, таким образом, вектор Q, характеризующий деформа­цию, и выяснив его свойства, мы можем вывести выражение для упругой свободной энергии изогнутого стержня. Упругая энергия (отнесенная к единице длины стержня) является квадратичной функцией деформации, т. е. в данном случае квадратичной функ­цией компонент вектора Q. Легко видеть, что в этой квадратичной форме должны отсутствовать члены, пропорциональные QjQj или 0„Я_г. Действительно, поскольку стержень однороден вдоль всей своей длины, то все величины, в частности и энергия, не должны меняться при изменении направления положительного отсчета координаты £, т. е. при замене £ на —£; указанные же произведения при такой замене переменили бы свой знак.

Что касается члена с квадратом Я|, то надо помнить, что при Я| = £1_п = 0 мы имеем дело с чистым кручением, и тогда выра­жение для энергии должно совпасть с выражением, полученным в § 16. Таким образом, соответствующий член в свободной энер­гии имеет вид

Наконец, члены, квадратичные по Q|, Яц, можно написать, исходя из выражения (17,7) для энергии слабо изогнутого неболь­шого участка стержня. Предположим, что стержень подвергается лишь слабому изгибу. Плоскость £, £ выберем в плоскости изгиба так, что компонента Щ исчезает; кручение также отсутствует при слабом изгибе. Выражение для энергии должно в этом случае совпадать с (17,7):

Но мы видели, что 1/R² является как раз квадратом плоского вектора (Qg, £!„). Поэтому энергия должна иметь вид

— 1 О²

При произвольном выборе осей £, rj это выражение напишется, как известно из механики, в виде

£

-g- + 2/„|Q._nQ! -J- h&Dt

где I_m, /„£, 1ц — компоненты тензора инерции сечения стержня. Удобно выбрать оси £, ц так, чтобы они совпали с главными осями инерции сечения стержня. Тогда мы будем иметь просто

где /_1; /₂ — главные моменты инерции сечения. Поскольку коэффициенты при Qf и Q% постоянные, то полученное выраже­ние должно иметь место и при сильном изгибе.

Наконец, интегрируя по всей длине стержня, получим окон­чательно следующее выражение для свободной упругой энергии изогнутого стержня;

^F* = J {-¥- ^Qi+-¥- ^Q?>+4- ^Qs}^dl (^l8>⁵)

Далее, выразим через Q момент сил, действующих на сечение стержня. Это легко сделать, используя опять результаты, полу­ченные ранее для чистого кручения и слабого чистого изгиба. При чистом кручении момент сил относительно оси стержня ра­вен Ст. Поэтому заключаем, что в общем случае момент Afj отно­сительно оси £ должен быть равен Af j = Ш_е. Далее, при слабом изгибе в плоскости |, £ момент относительно оси tj есть EIJR. Но при таком изгибе вектор Q направлен по оси tj, так что 1/R есть просто его абсолютная величина и EIJR = EI₂Q. Поэтому заключаем, что в общем случае должно быть Af j = EI^i, Af„ = = £7₂q„ (оси I, tj выбраны по главным осям инерции сечения). Таким образом, компоненты вектора М момента сил равны

М_ъ = Е1₁$ъ Af„ = EI₂Q_n, Mj = CQ_£. (18,6)

Упругая энергия (18,5), выраженная через момент сил, имеет вид
_{F =}ffA+J^+AL/ (18,7)

Важным случаем изгиба стержней является слабый изгиб, при котором на всем протяжении стержня отклонение его от перво­начального положения мало по сравнению с длиной стержня. В этом случае кручение можно считать отсутствующим, так что можно положить = 0 и из (18,4) имеем просто

Q = -±-[tn]=[t-g-]. (18,8)

Введем неподвижную в пространстве систему координат х, у, г с осью z вдоль оси недеформированного стержня (вместо связан­ных в каждой точке со стержнем координат |, г\, £. Обозначим посредством X, Y координаты х, у точек упругой линии стержня; X и Y определяют смещение точек линии от их первоначального положения до изгиба.

Ввиду того что изгиб слаб, вектор касательной t почти парал­лелен оси г, так что приближенно можно считать его направлен­ным вдоль этой оси. Далее, единичный вектор касательной равен производной

от радиус-вектора г точек кривой по ее длине. Поэтому имеем

dt _ d*r _ d?r

dl ~ dl* ~ dz*

(производную по длине стержня можно приближенно заменить производной по z). В частности, х- и у-компоненты этого вектора равны соответственно d²Xldz² и d²Yldz². Компоненты Qg, Q_n с той же точностью равны теперь компонентам Q_x, Ц,, и из (18,8) получаем

Q_e=--g-. Q„ =-!?-. (ВД

Подставляя эти выражения в (18,5), получаем упругую энер­гию слабо изогнутого стержня в виде

'«--И {'.(-£)•+'.(-£-)>. <¹⁸'¹⁰>

Напомним, что 1_Ъ /₂ — моменты инерции соответственно относи­тельно осей х, у, являющихся главными осями инерции.

В частности, для стержня кругового сечения /_х = /₂ = / и в подынтегральном выражении получается просто сумма ква­дратов вторых производных, совпадающая в рассматриваемом приближении с квадратом кривизны стержня:

/ d*X N2 / d*Y у------- 1

V dz* \ dz* ) ~ R* '

Ввиду этого формулу (18,10) можно естественным образом обоб­щить для слабого изгиба стержней (кругового сечения), имеющих в своем естественном (недеформированном) состоянии любую непрямолинейную форму. Для этого надо написать энергию из­гиба в виде

^f-=44(i--i)²^ Q*m

где R_e — радиус естественной кривизны стержня в каждой его точке. Это выражение, как и должно быть, обладает минимумом в недеформированном состоянии (R == R₀), а -«при R₀ -> оо пере­ходит в формулу (18,10).

§ 19. Уравнения равновесия стержней

Мы можем теперь перейти к выводу уравнений равновесия изогнутых стержней. Рассмотрим опять какой-нибудь из беско­нечно малых элементов стержня, вырезанный двумя бесконечно близкими сечениями, и вычислим, полную действующую на него силу. Обозначим силу внутренних напряжений, приложенную к площади сечения стержня, посредством F ¹). Компоненты этого вектора равны интегралам от оц по площади сечения:

F_i=\o_itdf. (19,1)

Если рассматривать два бесконечно близких сечения как поверх­ности оснований вырезаемого ими элемента стержня, то на верх­нее основание действует сила F + dF, а на нижнее — сила — F; их сумма есть дифференциал dF. Пусть далее К есть действу­ющая на стержень внешняя сила, отнесенная к единице его длины. Тогда на элемент длины dl действует внешняя сила К dl. Равно­действующая всех сил, действующих на этот элемент, есть, сле­довательно, dF + К dl. В равновесии эта сила должна обра­щаться в нуль. Таким образом, получаем

4-==-К. (19,2)

Второе уравнение получается из условия равенства нулю полного момента сил, приложенных к данному элементу. Пусть М есть момент сил внутренних напряжений, действующих на пло-

щадь сечения стержня. Этот момент берется относительно точки (начала координат), лежащей в самой плоскости этого сечения; его компоненты определяются формулами (18,6). Будем вычис­лять суммарный момент, приложенный к данному элементу стержня, относительно точки (назовем ее точкой О), лежащей в плоскости его верхнего основания. Тогда внутренние напряже­ния на этом основании дают момент М + dfA. Момент же (отно­сительно О) сил внутренних напряжений в нижнем основании элемента складывается из момента — М этих сил относительно качала координат в плоскости нижнего основания (точка О') и момента (относительно О) суммарной силы — F, действующей на этом основании. Этот второй момент равен [(—dl) (—F)], где dl — вектор элемента длины стержня от О' к О. Момент же, обусловленный внешними силами К, является малой величиной высшего порядка. Таким образом, полный действующий на эле­мент стержня момент сил есть dN\ + [dlF]. В равновесии он должен быть равным нулю:

dm + [dlF] = 0.

Разделив это равенство на dl и замечая, что dMdl = t есть единич­ный вектор касательной к стержню {рассматриваемому как ли­ния), получаем уравнение

-7jf-=[Ft]. (19,3)

Уравнения (19,2) и (19,3) представляют собой полную систему уравнений равновесия произвольным образом изогнутого стержня.

Если действующие на стержень внешние силы являются, как говорят, сосредоточенными, т. е. приложены только к отдельным изолированным его точкам, то на участках стержня между точ­ками приложения сил уравнения равновесия заметно упро­щаются. Из (19,2) имеем при К = 0

F = const, (19,4)

т. е. силы внутренних напряжений постоянны вдоль длины каж­дого из указанных участков стержня. Значения этих постоянных определяются тем, что разность F₂ — F_x значений силы в точ­ках 1 и 2 равна

F₂ - F_t = - £ К, (19,5)

где сумма берется по всем силам, приложенным к отрезку стержня между точками / и 2. Обращаем внимание на то, что в разности F₂ — F_x точка 2 является более удаленной от начала отсчета длины стержня (т. е. длины дуги /), чем точка /; это замечание существенно при определении знаков в равенстве (19,5). В част­ности, если на стержень действует всего одна сосредоточенная сила f, приложенная к его свободному концу, то F постоянно вдоль всей длины стержня и равно f.

Второе уравнение равновесия (19,3) тоже упрощается. Написав в нем t — d\ldl = drldl (где г — радиус-вектор от некоторой заданной точки к произвольной точке стержня) и интегрируя, получаем ввиду постоянства F

М = [Fr] + const. (19,6)

Если же отсутствуют также и сосредоточенные силы, а изгиб стержня происходит под действием приложенных к нему сосредо­точенных моментов (т. е. сосредоточенных пар сил), то F = const вдоль всей длины стержня, а М испытывает в точках приложения сосредоточенных пар скачки, равные их моментам.

Обратимся, далее, к вопросу о граничных условиях на кон­цах изгибаемого стержня. Здесь могут представиться различные случаи.

Конец стержня называют заделанным (рис. 4, а см. с. 66), если он не может испытывать никаких смещений — ни продоль­ных, ни поперечных, и, сверх того, не может измениться его на­правление (т. е. направление касательной к стержню в его конце). В этом случае граничные условия заключаются в том, что за­даются координаты конца стержня и единичный вектор касатель­ной t к нему. Сила же и момент сил реакции, действующие на стержень со стороны опоры в точке закрепления, определяются в результате решения уравнений.

Противоположным является случай свободного конца стержня. В этом случае координаты конца и его направление произвольны. Граничные условия заключаются в том, что сила F и момент сил М на конце стержня должны обратиться в нуль ¹).

Если конец стержня закреплен на шарнире, то он не может испытывать никаких смещений, но его направление не задано. Момент сил, действующих на такой свободно поворачивающийся конец, должен исчезать.

Наконец, если стержень оперт в некоторой точке опоры (рис. 4, б), то он может скользить по этой точке, но не может испытывать в ней поперечных смещений. В этом случае незадан­ными являются направление t и положение точки, в которой опирается стержень, по его длине. Момент сил в точке опоры должен быть равным нулю соответственно тому, что стержень может свободно поворачиваться, а сила F в этой точке должна быть перпендикулярна к стержню; продольная компонента силы вызвала бы дальнейшее его скольжение в точке опоры.

Аналогичным образом легко установить граничные условия и при других способах закрепления стержня. Мы не будем оста­навливаться здесь на этом, ограничившись приведенными типич­ными примерами.

§ 19]

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ СТЕРЖНЕЙ

Уже в начале предыдущего параграфа было отмечено, что сильный изгиб стержня произвольного сечения сопровождается, вообще говоря, одновременным его кручением, даже если к стер­жню не прилагается никаких внешних крутящих моментов. Исключением является изгиб стержня в его главных плоскостях. При таком изгибе кручение не возникает. У стержня кругового сечения никакой изгиб не сопровождается кручением (если, конечно, нет внешних крутящих моментов). В этом можно убе­диться следующим образом. Кручение определяется компонен­той q_£ = (Ш) вектора Й. Вычислим его производную по длине стержня. Для этого пишем, замечая, что Q_s = М^/С:

^d _(Ш\ _ с ^dQi - ^т t I м ^dt -агт)-^-аГ ~^Г^х+^т dt •

При подстановке (19,3) первый член обращается в нуль, так что

dl dl

У стержня кругового сечения /_х = /₂ = /; согласно (18,3) и (18,6) можно поэтому написать М в виде

m = El[t-~]+tCQ_z. (19,7)

При умножении на dildl оба члена дают нуль, так что dQ^/dl = 0, откуда

fij = const, (19,8)

т. е. угол кручения постоянен вдоль стержня. Если к концам стержня не приложено крутящих моментов, toJJj на концах равно нулю, а потому кручение отсутствует и по всей длине стержня.

Для стержня кругового сечения можно, таким образом, на­писать при чистом изгибе

М-и[|-5-]-иГ*-£]. (,9,9)

Подстановка этого выражения в (19,3) приводит к уравнению чистого изгиба стержней кругового сечения в виде

"[-£-■£■]-['-£-]• да¹⁰»

Задачи

1. Привести к квадратурам задачу об определении формы стержня круго­вого сечения (упругого прута), сильно изогнутого в одной плоскости приложен­ными к нему сосредоточенными силами.

Решение. Рассматриваем участок стержня между точками приложения сил; на таком участке F = const. Выберем плоскость изгиба в качестве пло­скости х, у, а ось у — параллельно силе F. Вводим угол 6 между касательной к линии стержня и осью у. Тогда dxldl = sin 6, dyldl = cos 6, где x, у — коор.

динаты точек стержня. Раскрывая векторные произведения в (!9,Ю), получаем уравнение для 9 как функции длины дуги /

IE

Первое интегрирование дает IE

dl*

■ F sin 6 = 0.

F cos 9 = c_x

и отсюда

л Г IE С d£

Vct. —Fcos9

Функция 9 (/) может быть выражена отсюда через эллиптические функции. Для координат х— | sin 0 dl, у = | cos 9 dl получаем

I^cos 0₉ — cos 9

Форма стержня определяется формулами

п/2

jc=У*!£- (KEoI^-^cosOo-cose),

cos9rf9

I^cos 0„ —- cos 0

3. To же, если сила f, приложенная к свободному концу, нанравлеиа iia-i раллельно линии недеформированного стержня.

S 191

уравнения равновесия стержней

Решение. Имеем F = —f (оси координат выбраны указанным на рис. 16 образом). Граничные условия: 9=0 при / = 0, 0/ = О при 1= L. Имеем

V^costi— cos9₀ '

где 9₀ определяется из I (0_О) = L, Для х и у получаем

]/-—-(V1 — cos в₀— KcosO-cosO,),

cosfl (

V^cos 9 — cos ©о

При слабом изгибе 6₀ < 1 и можно написать:

е.

V t J }'% — & 2 f / '

т. e. G₀ выпадает из этого соотношения. Это показывает, в согласии с резуль­татом задачи 3 § 21, что рассматриваемое решение существует только при / > ;> n²IElAL², т. е, после потери устойчивости прямолинейной формой.

4. То же, если оба конца стержня оперты, а к его середине приложена сила f; расстояние между точками опоры есть

л/2

IE , „ \1/2

. cos9

я/2

Угол 9₀ определяется из условия, что проекция длины АВ на прямую Л С должна быть равна LJ2, откуда имеем

П/2

L* ( ^1Е -„о V^/2 Г cos(0-e_o) „

/ IE . . \i/2 j-

2 \ / """»/ J ^iuTe

При некотором определенном значении 0_О) лежащем между 0 и я/2, производная df/rf6₀ (где / рассматривается как функция от 0_О) обращается в нуль и делается положительной. Дальнейшему уменьшению 6₀, т. е. увеличению прогиба, соот­ветствовало бы уменьшение /. Это значит, что найденное решение делается не­устойчивым; стержень «проваливается» между опорами.

5. Привести к квадратурам задачу о пространственном сильном изгибе стержня под действием сосредоточенных сил.

Решение. Рассматриваем участок стержня между точками приложе­ния сил, на котором F = const. Интегрируя (19,10), получаем

(1)

постоянная интегрирования написана в виде вектора cF, направленного вдоль F, поскольку надлежащим выбором начала координат, т. е. прибавлением к г некоторого постоянного вектора, можно исключить аддитивный вектор, перпен­дикулярный к F. Умножая (1) скалярно и векторно на г' (штрих означает диф­ференцирование по I) и замечая, что г'г* = 0 (поскольку г' = 1), получаем

F [it'] + cFr' = 0, Eh" = [[Ft] r'J + с [Fr'J. В компонентах (ось г выбрана по направлению F)

(ху' — ух') + сг' == 0, Elf = — F (хх' + уу'). Вводя в этих уравнениях цилиндрические координаты г, <р, г, получаем

r*q>' + сг' = 0, Е1г" = — Frr'. (2)

Из второго уравнения имеем

где А — постоянная. Комбинируя (2) и (3) с тождеством

Г'З _j_ _Г2_ф'И _{+ г}<2 ₌ j,

получаем

rdr Г F^% Т1/2

после чего из (2) и (3) находим

F е (А — r²)r . cF t А — г* ,

^г=-тг\ _G(r) ^dr' ^ф= —m-]-iGW^dr*

чем и определяется форма изогнутого стержня,

6. Стержень кругового сечения подвергнут кручению (угол кручения т) и изогнут в винтовую линию. Определить силу и момент сил, которые должны быть приложены к концам стержня для того, чтобы удерживать его в таком со­стоянии.

Решение. Пусть R — радиус цилиндра, на поверхности которого навита винтовая линия (ось z выбираем по оси этого цилиндра), а а — угол между ка­сательной к линии и плоскостью, перпендикулярной к оси г; шаг винтовой ли­нии h связан с а и R посредством h = 2nR tg а. Уравнения винтовой линии:

x = R cos q>, у = R sin ф, г = q>/? tg a

(ф — угол поворота вокруг оси г); элемент длины дуги dl= Rdy/cosa. Под­ставляя эти выражения в (19,7), вычисляем компоненты вектора М, а затем по формуле (19,3) — силу F (постоянную вдоль всей длины стержня). В резуль­тате находим, что сила F направлена по оси г и равна

„ „ _ sin a EI .

F_Z = F = Ст —= ^- cos² a sin a.

R R*

Момент M имеет составляющую по оси z:

EI

m_z = Ст sin a + —g- cos³ a

и составляющую М_ф, направленную в каждой точке стержня по касательной к окружности поперечного сечения цилиндра, равную М_ф = FR.

7, Определить форму гибкой нити (сопротивлением которой на изгиб можно пренебречь по сравнению с сопротивлением на растяжение), подвешенной за две точки в поле тяжести.

Решение, Выбираем плоскость, в которой расположена нить, в каче­стве плоскости х, у с осью у, направленной вертикально вниз. В уравнении (19,3) можно пренебречь членом dfAldl, поскольку М пропорционально EI. Тогда [Ft j = 0, т. е. F направлено в каждой точке нити по t и можно написать F = = Ft, Уравнение (19,2) дает теперь

(q — вес единицы длины нити), откуда

dl ~^{Ct t} dl ~^ql-

Отсюда имеем F = Y^c% + <7²^², так что

dx a dy

dl ' ^dl VA*+ I*

(где A = clq). Интегрирование дает

x=4Arsh-i-, y = VA* + l\

откуда

Ach 4",

т. е. нить имеет форму цепной линии. Выбор начала координат и постоянная^ А определяются тем, что кривая должна пройти через две заданные точки и должна иметь заданную длину.

§ 20. Слабый изгиб стержней

Уравнения равновесия значительно упрощаются в практически важном случае слабого изгиба стержней. Изгиб является слабым, если направление касательной t к стержню медленно меняется вдоль его длины, т. е. производная dt/dl мала. Другими словами, радиус кривизны изогнутого стержня в каждой точке должен быть велик по сравнению с длиной' стержня. Практически это условие сводится к требованию малости поперечного' прогиба, стержня по сравнению с его длиной. Подчер-кнем, что при этом отнюдь не требуется малости прогиба по сравнению с толщиной. стержня, как это должно было быть в приближенной теории сла­бого изгиба пластинок, развитей в- §§ 11—12''). Продифференцируем (19,3) по длине:

*-[■§-•]+[«■■§-]• №>

Второй член содержит малую величину вследствие чего им

обычно (за исключением некоторых особых случаев, о которых речь идет ниже) можно пренебречь. Подставляя В' первом: члене dfldl = —К, получаем, уравнение равновесия в виде

= ft К]. сад

Напишем это уравнение в компонентах, для чего подставим в него, согласно (18,6) и (18,9),

М_х = — E^Y', My = EI₂X\ M_z - 0 (20,3)

(знак ' означает везде дифференцирование по г). Единичный вектор t можно считать направленным по оси г. Тогда мы полу­чим

EI_tX^v- — К_х = 0, Е1,У"-! — Ky = Q. (20,4)

Эти уравнения определяют зависимость прогибов X и Y от г, т. е. форму слабо изогнутого стержня.

Силу F внутренних напряжений, действующую на поперечное сечение стержня, также можно выразить через производные от X и Y. Подставляя (20,3) в (19,3), получаем

F_x = -EI₂X"', F_v = -EI.Y'"-. (20,5)

Мы видим, что вторые производные определяют момент сил вну­тренних напряжений, а третьи производные определяют сами эти силы. Силу (20,5), называют перерезывающей силой. Если изгиб производится сосредоточенными силами, то перерезыва­ющая сила постоянна вдоль каждого из отрезков стержня между точками приложения сил, а в каждой из этих точек испытывает скачок, равный приложенной внешней силе.

*). Мы не излагаем вовсе сложной теории изгиба стержней, которые в своем естественном, недеформированном, состоянии имеют изогнутую форму (ограни­чиваясь лишь одним простым примером в задачах 8, 9 этого параграфа).

Величины Е1₂ и Е1_г называют жесткостью стержня на изгиб соответственно в главных плоскостях х, г и у, z *).

Если приложенные к стержню вдешние силы действуют в одной плоскости, то и изгиб стержня произойдет в одной плоскости. Эти две плоскости, однако, в общем случае не совпадают друг с другом; легко найти угол между ними. Если а — угол между плоскостью действия сил и первой главной плоскостью изгиба (плоскостью х, z), то уравнения равновесия принимают вид

V"" cos я тг \rnlt Sin 05 rr

Оба уравнения отличаются только коэффициентом при К- Поэтому X и Y пропорциональны друг другу, причем

Y — X

Угол О между плоскостью изгиба и плоскостью х, z определяется равенством

tgB = -JMga. (20,6)

Для стержня кругового сечения 1_Х = /₂ и а = 6, т. е. изгиб происходит в плоскости действия сил. То же самое имеет место и для стержня произвольного сечения при « = 0, т. е. когда силы направлены в главной плоскости. Для абсолютной величины прогиба

имеет место уравнение

Щ"" = *С, , ^hh (20,7)

У Г{ cos- а + l\ sin² а

Перерезывающая сила F лежит в той же плоскости, что и К, и равна

F - — £/£"'• (20,8)

Величина / играет роль эффективного значения момента инерции сечения стержня.

Напишем в явном виде граничные условия для уравнений равновесия слабо изогнутого стержня. Если конец стержня за­делан, то на нем должно быть X — Y = 0 и, сверх того, не может измениться его направление, т. е. должно быть X' = Y' = 0. Таким образом, на заделанном конце стержня должны выпол­няться условия

X — Y = 0, X' = Y' = 0. (20,9)

Сила же и момент сил реакции в точках опоры определяются по известному решению формулами (20,3) и (20,5).

При достаточно слабом изгибе стержня закрепление его конца в шарнире и опирание его в точке эквивалентны в отношении граничных условий. Дело в том, что во втором случае продольное смещение стержня в точке опоры является при слабом изгибе величиной второго порядка малости по сравнению с поперечным прогибом и потому должно считаться равным нулю. Граничные условия исчезновения поперечного смещения и момента сил дают в этих случаях

X = Y = 0, X" = Y" — 0. (20,10)

Направление же конца стержня и сила реакции в точке опоры определяются в результате решения уравнений.

Наконец, на свободном конце должны отсутствовать сила F и момент сил М. Согласно (20,3) и (20,5) это приводит к условиям

X"- = Y" = О, X'" = Y'" = 0 (20,11)

(если к свободному концу приложена сосредоточенная сила, то F должно быть равно этой силе, а не нулю).

Нетрудно обобщить уравнения (20,4) на случай стержней переменного сечения. У таких стержней моменты инерции /_х и /_а являются функциями z. Формулы (20,3), определяющие моменты сил в каждом данном сечении стержня, по-прежнему остаются справедливыми. Подстановка их в (20,2) приводит теперь к уравнениям

*£-('.■£)-** *-£■('.■£-)-*- (».«)

в которых 1_Х и /₂ нельзя вынести из-под знака производной. Для перерезывающей силы имеем

4('•-£)■ '.--*-£-('.тг)- <²°.'³>

Вернемся снова к уравнениям (20,1). Произведенное нами пренебрежение вторым членом в правой стороне равенства может оказаться в некоторых случаях незаконным даже при слабом изгибе. Это — те случаи, в которых вдоль длины стержня дей­ствует большая сила внутренних напряжений, т. е. F_z очень велико. Наличие такой силы вызывается обычно сильным натя­жением стержня приложенными к его концам внешними растя­гивающими силами. Обозначим действующее вдоль стержня постоянное натяжение посредством F_z = Т. Если стержень под­вергается сильному сжатию, а не растяжению, то сила Т отри­цательна. Раскрывая векторное произведение [F dt/dt], мы должны теперь сохранить члены, содержащие Т, членами же с F_x и F_y можно по-прежнему пренебречь. Подставляя для ком­понент вектора dtldl соответственно X", Y", 1, получим уравнения равновесия в виде