Производные и дифференциалы высших порядков

 

Пусть функция имеет производную в каждой точке некоторого множества X. Тогда производная представляет собой функцию аргумента x. Эта функция также может иметь производную. Производная от (если она существует) называется производной второго порядка или второй производной от функции и обозначается одним из символов:Таким образом, по определению

Пример. Дана функция Найти

Решение.

Рассмотрим дифференциалы высших порядков.

Дифференциал функции является функцией от аргумента x. Рассмотрим дифференциал от дифференциала .

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала данной функции и обозначается символом Итак, Аналогично определяется дифференциал третьего порядка как Дифференциалом n-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала го порядка этой функции и обозначается символом Итак, Подчеркнем, что определяя дифференциалы высших порядков, дифференциал независимой переменной все время рассматриваем как постоянную величину. Учитывая это, имеем:

Пример… Дана функция Найти

Решение. Согласно формуле имеем: Так как то получаем

Лекция 6.3. Приложение понятия производной

План

1. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

2. Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя).

3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы функции.

 

В математическом анализе существует ряд теорем о дифференцируемых функциях, которые имеют большое теоретическое и прикладное значение. К таким теоремам относятся теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Все они названы по именам знаменитых французских математиков XVII-XIX веков.