Составление планов второго порядка

ЛЕКЦИЯ№12

(продолжение темы «МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА»)

При двухфакторном эксперименте модель второго порядка имеет вид

. (12.1)

Попытка определить коэффициенты полинома (3.7) по плану ПФЭ 2² (табл. 3.1) не дает положительных результатов. Такая задача может быть решена при переходе к плану ПФЭ с большим числом уровней варьирования факторов, например к плану ПФЭ типа 3^k. В этом случае число опытов становится весьма большим даже при сравнительно малом числе факторов.

Более простым путем решения является достраивание плана ПФЭ 2^k (или его дробной реплики) до плана более высокого порядка. В этом случае план ПФЭ 2^k принимают за ядро или центр плана второго порядка, а затем к нему добавляют симметрично расположенные дополнительные точки факторного пространства, называемые звездными, т.е. кроме значений факторов на уровнях ±1 на каждой координатной оси факторного пространства выбираются две звездные точки ; , , а также добавляется точка начала координат , . В каждой плоскости, проходящей через центр и содержащей ось У и координатную ось i-го фактора, оказывается три значения фактора и три соответствующих значения У. Общее число опытов в плане, построенном описанным образом при k>1, составляет

. (12.2)

Число опытов, определенное соотношением (3.5), существенно меньше, чем в плане ПФЭ 3^k при k>2.

На рис. 3.2 кружками отмечены точки ядра плана (план ПФЭ 2²), а точками – звездные точки. Звездные точки построены для a=1.

Рисунок 12.1

Ортогональные центрально-композиционные планы

В этом случае достройку плана ПФЭ 2^k (выбор положения звездных точек) производят таким образом, чтобы выдержать принципы ортогональности и симметрии. План второго порядка, удовлетворяющий этим требованиям, принято называть ортогональным центрально-композиционным планом (ОЦКП).

В качестве примера рассмотрим расположение опытных точек в двухфакторном пространстве при ОЦКП. На рис. 3.3 кружками отмечены точки ядра плана (план ПФЭ 2²), а точками – звездные точки. Величина a, называемая звездным плечом, зависит от числа варьируемых факторов.

Чтобы матрица планирования была ортогональной, алгебраическая сумма элементов вектор-столбца должна быть равной нулю, не только для каждого вектора и их произведений, но и для вектор-столбцов, соответствующих квадратам факторов.

Рисунок 12.2

Последнее условие можно выполнить, если квадраты факторов подвергнуты некоторому преобразованию, т.к. сумма квадратов любых чисел не равна нулю. Простейшим преобразованием квадратов факторов является следующее:

, (12.3)

где – преобразованный фактор; – величина, зависящая от числа факторов k.

При значение одинаково для всех факторов.

Для преобразованных факторов должно также выполняться условие ортогональности

; . (12.5)

В табл. 12.1 приведены данные, необходимые для определения коэффициентов квадратичных полиномов.

Преобразование независимых переменных

Замена факторов x_i на новые независимые переменные z_i, функционально связанные с x_i, является одним из способов повышения точности аппроксимации истинной зависимости У=f(x₁, ..., x_k).

Таблица 12.1 – Данные для расчета коэффициентов полиномов

Наиболее часто используется преобразование вида

при , . (12.6))

Здесь x_i – истинное значение фактора в соответствующих единицах измерения.

Применение в качестве преобразованной переменной степенной функции исходного фактора целесообразно в связи с тем, что эта функция при соответствующем выборе a_i достаточно точно аппроксимирует монотонные нелинейные зависимости. Значение a_i можно найти из условия, согласно которому в заданных сечениях факторного пространства функция У=f(x_i) проходит через три известные точки.

Предположим, что в некотором сечении факторного пространства функция У=f(x_i) определена на отрезке (рис. 12.4).

Рисунок 12.4

Введем кодированную переменную . Если при этом , , то У=f(x_i) является центральным сечением кодированного факторного пространства. Поставив опыты в указанных точках, получим значения откликов У₁ и У₂. Найдем такое значение a_i, чтобы функция проходила через все три известные точки: ; ; .

Выражение для новой кодированной переменной

. (12.7)

Таким образом, имеем или, учитывая преобразование (11.11)

. (12.8)

Подставив в (12.13) координаты центральной точки , получим трансцендентное уравнение с одним неизвестным a_i. Семейство расчетных зависимостей a_i=f(c_i, d_i), найденных при решении данного уравнения, показано на рис. 3.4. Здесь ; .

Рисунок 12.5

Аппроксимирующий полином с новыми независимыми переменными можно сформировать подстановкой в полином вида (3.3) новой кодированной переменной x_i. Тогда с учетом (3.12) после преобразований запишем

,

где z₀=1; при ; при и и т.д.; b_i – размерные коэффициенты, полученные после подстановки в (3.3) х=x и приведения подобных членов.