ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ

Лекция №7

1.1 Основные определения и формулы

Разность Dх между результатом измерения х и истинным значением измеряемой величины х₀ называется абсолютной погрешностью результата измерения:

Dх = х – х₀ . (6.1)

Погрешность Dх является случайной величиной. Она может быть представлена в виде

Dх = Dх_с – , (6.2)

где Dх_с - математическое ожидание величины Dх, а - случайная величина с нулевым математическим ожиданием. Неслучайную величину Dх_с называют систематической погрешностью, - случайной погрешностью. Если значение Dх_с известно, то систематическую погрешность можно исключить, приняв за окончательный результат измерения х_испр - исправленный результат измерения:

х_испр = х – Dх_с . (6.3)

Для оценки влияния погрешности на результат измерения задаются погрешностями Dх₁ и Dх₂ и находят вероятность того, что измеряемая величина х заключена между (х – Dх₂) и (х + Dх₁). Интервал [х – Dх₂; х + Dх₁] называется доверительным интервалом, а вероятность того, что х находится внутри этого интервала, - доверительной вероятностью Р_Д. Это может быть записано в следующем виде

. (6.4)

Обычно выбирают . Тогда

. (6.5)

Если известен дифференциальный закон распределения погрешности Dх, т.е. плотность вероятности f(Dх), то

. (6.6)

Числовые характеристики закона распределения f(Dx) – математическое ожидание Dх_с, дисперсия D и среднее квадратичное отклонение s – могут быть определены по формулам

; (6.7)

; (6.8)

. (6.9)

При нормальном законе распределения погрешностей

. (6.10

В этом случае, пользуясь таблицей функции Лапласа Ф(Z) (см. приложение 4), можно определить

. (6.11)

При использовании приложения 4 необходимо учитывать

Ф(–Z) = – Ф(Z). (4.12)

В ряде случаев закон распределения погрешностей не известен, однако известны (обычно приближенно) его числовые характеристики Dх_с и s. Тогда для грубой оценки снизу доверительной вероятности Р_Д при заданном симметричном доверительном интервале Dх₁ можно воспользоваться неравенством Чебышева

. (6.13)

Тогда

. (6.14)

Если случайная величина У связана с независимыми случайными величинами У₁, У₂,…,У_n известной функциональной зависимостью У = F(У₁, У₂,…,У_n), то, зная математические ожидания m_y1, m_y2,…, m_yn и средние квадратичные отклонения s_y1, s_y2,…s_yn величин У₁, У₂,…,У_n, можно приближенно найти математическое ожидание m_y и среднее квадратическое отклонение s_y величины У по формулам

m_y = F(m_y1, m_y2,…m_yn); (6.15)

, (6.16)

где - частная производная функции F(У₁, У₂,…,У_n) по y_i, взятая в точке (m_y1, m_y2,…m_yn).

Если У₁, У₂,…,У_n - случайные результаты прямых независимых измерений различных физических величин, а У = F(У₁, У₂,…,У_n) - результат косвенного измерения, тогда среднее квадратическое отклонение s случайной погрешности результата косвенного измерения можно найти по формуле

, (6.17)

где - среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата прямого измерения У_i, а частная производная берется в точке У₁, У₂,…,У_n, соответствующей результатам прямых измерений.

, (6.18)

. (6.19)

При неизвестной величине х (произведено n независимых наблюдений одного и того же неизвестного значения) найти оценку систематической погрешности Dх_с невозможно. Если пренебречь систематической погрешностью, то в качестве оценки истинного значения измеряемой величины следует принять среднее арифметическое результатов наблюдений:

. (6.20)

Среднее квадратическое отклонение величины х_ср равно

. (6.21)

Среднее квадратическое отклонение каждого отдельного наблюдения, характеризующее точность метода измерения

. (6.22)

Оценка систематической погрешности

. (6.23)

Если известно, что погрешности отдельных наблюдений распределены по нормальному закону (параметры которого неизвестны), то вместо приближенной формулы (1.24) следует использовать точное выражение

, (6.24

где - интегральная функция распределения Стьюдента (см. приложение 5). Выражение (6.25) справедливо для любых n>1.

Если число наблюдений n мало (n<10¸20), а закон распределения погрешностей отдельных наблюдений нельзя считать близким к нормальному, то применение выражения (1.24) приводит к значительным погрешностям. В этом случае для грубой оценки величины Р_Д имеет смысл использовать выражение (6.14), положив в нем s = s_ср.

Если ряд наблюдений х₁, х₂,…, х_n содержит результат х_k, существенно отличающийся от остальных, то необходимо проверить, не является ли он промахом. При нормальном законе распределения отдельных результатов измерения x_i обнаружение промаха сводится к проверке

, (6.25)

при известной дисперсии или

, (6.26)

при неизвестной дисперсии.

В этих выражениях - граница доверительного интервала нормально распределенной величины Z при доверительной вероятности p­ⁿ; - граница доверительного интервала случайной величины , имеющей специальное распределение (приложение 6), зависящее от n, при доверительной вероятности Р. Если неравенства (1.26) и (1.27) не выполняются, то x_k следует считать промахом. Его необходимо исключить из ряда наблюдений, и для оценки результата измерения необходимо заново пересчитать x_cp и s_cp.