Операции над отношениями

Так как отношения являются множествами, то все операции над множествами справедливы для отношений.

Пример 2.9.

r1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.

r1 È r2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

r1 Ç r2 = {<1, 2>}.

r1 \ r2 = {<2, 3>, <3, 4>}.

Пример 2.10.

Пусть R – множество действительных чисел. Рассмотрим на этом множестве следующие отношения:

r1 – " £ "; r2 – " = "; r3 – " < "; r4 – " ³ "; r5 – " > ".

Тогда

r1 = r2 È r3;

r2 = r1 Ç r4;

r3 = r1 \ r2;

r1 = ;

Определим еще две операции над отношениями.

Определение 2.7. Отношение называется обратным к отношению r (обозначается r –1), если

r –1 = {<x, y> ç< y, x> Î r}.

Пример 2.11.

r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r –1= {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.

Пример 2.12.

r = {<x, y> ç x – y = 2, x, y Î R}.

r –1 = {<x, y> ç< y, x> Î r} = r –1 = {<x, y> çy – x = 2, x, y Î R} = {<x, y> ç– x + y = 2, x, y Î R}.

Определение 2.8. Композицией двух отношений r и s называется отношение

s r = {<x, z> çсуществует такое y, что <x, y> Î r и < y, z> Îs}.

Пример 2.13.

r = {<x, y> çy = sinx}.

s = {<x, y> çy = Öx}.

s r = {<x, z> çсуществует такое y, что <x, y> Î r и < y, z> Îs} = {<x, z> çсуществует такое y, что y = sinx и z = Öy} = {<x, z> ç z = Ösinx}.

Определение композиции двух отношенийсоответствует определению сложной функции:

y = f(x), z = g(y) Þ z = g(f(x)).

Пример 2.14.

r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.

s = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.

Процесс нахождения s r в соответствии с определением композиции удобно изобразить таблицей, в которой реализуется перебор всех возможных значений x, y, z. для каждой пары <x, y> Î r нужно рассмотреть все возможные пары < y, z> Îs (табл. 2.1).

Таблица 2.1

<x, y> Î r < y, z> Îs <x, z> Îs r
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1> <1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3>

Заметим, что первая, третья и четвертая, а также вторая и пятая строки последнего столбца таблицы содержат одинаковые пары. Поэтому получим:

s r = {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.