Теоремы о степенях вершин и изоморфизм графов

Способы задания графов

Рассмотрим три способа задания графов: графический, аналитический и матричный.

1) Графический способ.

Вершины изображают точками на плоскости, а ребра – линиями, соединяющими соответствующие точки. Для изображения дуги используется линия со стрелкой, указывающей направление от начала к концу дуги.

На рисунке 12 изображен смешанный граф с вершинами v₁, v₂,¼, v₆, ребрами e₁, e₂, e₃, e₅ и дугой e₄. Смежные вершины v₁, v₂, инциденты ребру e₁. Вершины v₁, v₃, инциденты параллельным ребрам e₂ и e₃. Вершине v₄ инциденты петля e₅ и дуга e₄, причем v₄ является началом дуги e₄, а v₅ – концом этой дуги. Степень вершины v₁ равна 3, вершины v₂ – 1, вершины v₃ – 2, вершины v₄ – 3, вершины v₅ – 1, вершины v₆ – 0. Таким образом, вершины v₂ и v₅ – висячие, а вершина v₆ – изолированная. В случае дуги e₄ точнее было бы говорить о полустепенях исхода и захода вершин v₄ и v₅, а именно: полустепень исхода вершины v₄ равна 3, вершины v₅ – 0, полустепень захода вершины v₄ равна 2, вершины v₅ – 1.

2) Аналитический способ.

Граф задают перечислением элементов множества вершин и множества ребер. Для графа, изображенного на рисунке 12, эти множества: V={v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, v₆} и Е={e₁, e₂, e₃, e₄, e₅}, где e₁=(v₁, v₂), e₂=(v₁, v₃), e₃=(v₁, v₃), e₄=(v₄, v₅), и e₅=(v₄, v₄).

3) Матричный способ.

Имеется несколько вариантов задать граф матрицей. Наиболее употребимыми являются матрица инциденций и матрица смежности.

а) Матрица инциденций – это прямоугольная матрица, число строк которой равно числу вершин, а число столбцов – числу дуг (ребер) графа. Элементы этой матрицы определяются следующим образом:

Таким образом, для графа на рисунке 12 матрица инциденций такова:

По этой матрице легко судить о наличии в графе параллельных ребер (два одинаковых столбца), петли (одна единица в столбце), дуги (значения разных знаков в столбце), изолированной вершины (нулевая строка), висячих вершин (одно ненулевое значение в строке).

б) Матрица смежности вершин – это квадратная матрица, размер которой определяется числом вершин в графе. Элементы этой матрицы определяются так: . Если в графе имеются параллельные ребра, то соответствующий элемент матрицы смежности полагают равным числу этих ребер. Так матрица смежности для графа на рисунке 12 такова:

По виду этой матрицы также несложно судить о наличии в графе кратных ребер, дуг, петель, висячих и изолированных вершин.

Теорема 1: Сумма степеней вершин в неориентированном графе четна и равна удвоенному числу ребер.

Аналогичная теорема может быть сформулирована и для орграфов: сумма полустепеней исхода всех вершин равна сумме их полустепеней захода и равна числу дуг орграфа.

Теорема 2:Число вершин нечетной степени в любом графе четно.

Два графа G₁ и G₂ называются изоморфными, если существует биективное отображение между множествами их вершин и ребер такое, что соответствующие друг другу по этому отображению ребра графов G₁ и G₂ инцидентны соответствующим друг другу по этому же отображению парам вершин этих графов.

Согласно определению, графы, изображенные на рисунке 13, изоморфны. Соответствие между множествами вершин и ребер таково:

для вершин:

для ребер: