Поверхностный интеграл.

Пусть - гладкая поверхность. Через т. Mпроведём замкнутый контур L не выходя за границы поверхности. Если для любой т. Mи для L, проходящей через неё после обхода контура L из т. Mс направлением нормали мы возвращаемся в т. Mс тем же направлением нормали, то поверхность двусторонняя, иначе – односторонняя. Положительным направлением обхода L называется обход против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора нормали. Поверхность S разобьём на элементарные части . Наибольший диаметр - . На каждой части возьмём и в этой точке посчитаем значение векторной функции

и единичный вектор нормали к поверхности . Единичный вектор нормали образует с осями координат углы . Составим интегральные суммы: .

- скалярное произведение векторов.

Если существуети он не зависит от способа разбиения поверхности и от выбора т. , то он называется поверхностным интегралом от векторной функции по выбранной стороне поверхности.

Свойства поверхностного интеграла аналогичны свойствам криволинейного, но вместо слов «направление обхода дуги» нужно употреблять слова «выбранная сторона поверхности». Если поверхность замкнута, то

Вычисление поверхностного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла по плоской области d, где d-проекция поверхности на плоскость . Вычисления проводят с помощью замены: z выражают через x и y, находят dz, подставляют в поверхностный интеграл и вычисляют полученный двойной интеграл.