Лекция № 25. Кратные интегралы. Криволинейные и поверхностные интегралы.

и т.д. – кратные интегралы

Двойным интегралом от f(x;y) по области D называется предел сумм:

D – множество точек (x;y) – область, по которой интегрируют

Площадь i-части

Геометрический смысл двойного интеграла: V=

D – область интегрирования, V – объём. Аналогично определяется тройной интеграл:

T – трёхмерная область интегрирования (объёмная фигура)

dV- элемент объёма, который получился после разбиения Т на элементарные кусочки. Аналогично определяются все оставшиеся n-мерные интегралы.

Свойства кратных интегралованалогичны свойствам определённого интеграла. Рассмотрим на примере двойного интеграла:

1)

2) (f(x;y))

3) , если

4) Если , то

5) Если , то

6) области T

7) Если на D , то т.

8) Теорема о среднем: Если f непрерывна в D, то существует хотя бы одна точка , для кото- рой

Достаточное условие интегрируемости: Кратный интеграл от f по множеству D(T) су- ществует, если f непрерывна на этом множестве.

Вычисление кратных интегралов:

,

где ; - пределы изменения x и y.

Чтобы вычислить двойной интеграл, надо сначала вычислить внутренний интеграл по y, считая x-const, получим функцию, зависящую только от x, которую интегрируем по .

Замечание: если область интегрирования – прямоугольник, то ,

где a, b, c, d – числа. Аналогичны вычисления тройного интеграла:

, где ; ;

.

Алгоритм вычисления тройного интеграла:

1) Спроектировать поверхность T на плоскость xoy. Получим D.

2) Взять произвольную точку М(x;y) из D и провести прямую oz, определяя т. о. пределы интегрирования по z: z-входа и z-выхода. Получим функции: -z- входа, -z-выхода.

3) В области D определить границы изменения x и y.

4) Вычислить внутренний интеграл по переменной z, считая x и y-const.

5) Вычислить от полученной в п. 4 функции

Эти формулы верны для вычисления кратных интегралов в декартовой системе координат.

Вычисление кратных интегралов в других системах координат:

1. Двойной интеграл можно вычислить с помощью замены переменных: f(x;y).

Замена: ;

Теорема: Если преобразование (*)переводит замкнутую ограниченную область G в замкнутую ограниченную область G(*) и если x и y, определяемые равенством (*) имеют в G(*) непрерывные частные производные и якобиан, причём f(x;y) непрерывна на G, тогда справедлива формула замены переменных.

, где =I-якобиан

- определитель, составленный из частных производных.

Замечание: Если подинтегральная функция или уравнение границы области G содержит выражение вида , то удобнее вычислять двойной интеграл с помощью полярных координат.

; ;

В этом случае

2. Тройной интеграл:

а) общая замена переменных:

; ;

б) цилиндрическая система координат: раньше т. P(x;y;z), то теперь т. , где и -полярные координаты проекции т. P на плоскости xoy; z-расстояние от т. P до плоскости xoy.

z=z; ;

в) сферические координаты: т. P(x;y;z)т. ; и полярные координаты проекции т. P на плоскости xoy; -угол между радиус-вектором OP и осью OZ.