Повторные интегралы и вычисление двойного интеграла

Пусть нам дан интеграл (3). Рассмотрим вначале случай, когда в области D, ограниченной некоторой линией g, задана непрерывная функция z=f(x,y) такая, что f(x,y)³0. Назовем область D правильной по оси Ox, если каждая прямая, лежащая внутри области D параллельная оси Oy, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Спроектируем область D на ось Ox в отрезок [a,b]. Для этого через каждую точку области D проведем проектирующую прямую. Множество концов прямых, входящих в область D, т. е. нижних концов, лежащих на границе g, задают функцию. Обозначим ее y=j(x). Множество концов прямых, выходящих из области D, т. е. верхних концов, лежащих на границе g, задают функцию y=y(x). Иллюстрация дана на рис. 3. Возьмем значение x=xÎ[a,b], и проведем плоскость, параллельную плоскости Oyz. Получим сечение тела этой плоскостью. Обозначим площадь сечения S=Q(x). Тогда объем тела V равен

Площадь сечения равна

Тогда

Интеграл, стоящий в правой части, называется повторным.

y

y=y(x)

y=j(x)

O a b x

Рис. 3. Проектирование области D на ось Ox

y

d

y=j₁(x) y=y₁(x)

c

O a b x

Рис. 4. Проектирование области D на ось Oy

Аналогично, спроектируем правильную по оси Oy область D на ось Oy в отрезок [c,d]. Для этого через каждую точку области D проведем проектирующую прямую, параллельную оси. Множество концов прямых, входящих в область D, т. е. левых концов, лежащих на границе g, задают функцию. Обозначим ее x =j₁(y). Множество концов прямых, выходящих из области D, т. е. правых концов, лежащих на границе g, задают функцию x =y₁(y). Тогда

Если область D неправильная, то разобьем ее на несколько правильных частей.

Теорема. Если функция z=f(x,y) непрерывна в области D и интеграл (2) существует, то он равен повторному. (Без доказательства).

Пример. Вычислить интеграл

где область D ограничена линиями

Решение. Изобразим область D и сведем интеграл к повторному.

y

y=x

x² – 2x + y² = 0

O 2 x