Определение двойного интеграла

Двойные интегралы

Пусть в области D, ограниченной некоторой линией g, задана произвольная непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем область на достаточно большое число элементарных площадок достаточно малого размера системой линий. Перенумеруем их произвольным образом. Обозначим площадь элементарных площадок DS₁, DS₂, DS₃,..., DS_n. Выберем на каждой элементарной площадке DS_i точку M_i(x_i,h_i) ÎDS_i, i=1,2,...,n. Вычислим в каждой из точек значение z_i=f(M_i )= f(x_i,h_i). Назовем диаметром элементарной площадки величину наибольшего отрезка, проходящего через элементарную площадку. Обозначим его d_i. Обозначим maxçd_iç=l. Начнем строить различные интегральные суммы так, чтобы l®0 и, соответственно, n®¥.

Определение. Предел интегральных сумм вида (1) при l®0, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора значений M_i(x_i,h_i) ÎDS_i на этих частях, называется двойным интегралом в области D от функции z=f(x,y) по dxdy. Обозначается

(2)

Замечание. Если разбивать на части область D прямыми x=const, y=const, то элементарные области, не имеющие пересечения с границами, имеют вид прямоугольников, а их площадь равна DS_k=Dx_i Dy_j. Поэтому двойной интеграл обозначают

(3)