Определение комплексных чисел

Лекция 17. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Понятие комплексного числа возникло в связи с необходимостью решать квадратные уравнения при любых значениях дискриминанта , в том числе и отрицательных(XVIв):

x²+4x+13=0 D₁= 4 -13=-9.

При этом возникает необходимость расширения понятия числа, необходимость введения чисел более общей природы. Действительно числа уже будут частным случаем этих «новых» чисел.

Комплексным числом называется выражение z =x+iy, где x и y – действительные числа, а i – символ, который называется мнимой единицей: i²= -1.

Корни приведенного уравнения можно записать в виде

z₁ = (2+3i ), z₂ = (2-3i ).

Числа х и y называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются символами:

x = Re z , y = Im z

Если y = 0, z = x + i0 считается совпадающим с действительным числом x. Если x = 0, то z = 0 + iy обозначается просто iy и называется чисто мнимым числом.

Выберем на плоскости декартову прямоугольную систему координат и будем рассматривать упорядоченную пару чисел (x,y) как координаты точек этой плоскости.

Тогда каждому числу z = x + iy будет отвечать определённая точка z (x,y) плоскости и, наоборот, каждой точке плоскости будет отвечать определённое число z = x + iy.

Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости Оху существует взаимно однозначное соответствие.

Рис.1.

Чисто мнимые числа z = iy изображаются точками на оси Oу, которая называется мнимой осью.

Три формы записи комплексного числа

1. Алгебраическая форма:

z = x + iy. (1)

Два комплексных числа z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ равны друг другу (z₁ = z₂) тогда и только тогда, когда

x₁ = x ₂, и y₁ = y₂

Если x₂ = x₁, а y₂ = -y₁, то комплексные числа z₁ = z₂ называются взаимно сопряжёнными:

z = x + iy, = x – i y.

Точки z(x,y) и z(x,-y) симметричны относительно действительной оси Oх.

2. Тригонометрическая форма.

Введём в рассмотрение радиус-вектор точки z и угол φ, образованный им с положительным направлением оси Oх. (рис.1).

Величины r и φ называются, соответственно, модулем и аргументом комплексного числа z и обозначаются символами:

r = | z |; φ = Arg z .

Модуль комплексного числа определяется однозначно формулой (из треугольника, рис 1);

r = | r |

Все значения аргумента φ удовлетворяют соотношению

Угол φ называется аргументом комплексного числа z:

Аргумент определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного 2π. Если z =0, то аргумент произволен.

Наименьшее по модулю значение аргумента Arg z называется его главным значением:

или

Главное значение аргумента определяется однозначно. Очевидно:

Из треугольника: x = cosφ и y = sinφ . Поэтому любое комплексное число можно записать в тригонометрической форме:

или (=r)

(2)

Два комплексных числа z₁ и z₂ равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы равны или отличаются на 2кπ:

;

Для перехода от алгебраической формы (1) к тригонометрической (2) пользуются равенствами:

; ..

Примеры: Записать комплексные числа в тригонометри-

ческом виде

Рис.2.

3. Показательная форма.

Рассмотрим показательную функцию с мнимым показателем . Положим по определению:

= cosφ - i - (формула Эйлера) (3)

Вывод этой формулы содержится в теории рядов. С её помощью от тригонометрической формы (2) записи комплексного числа можно перейти к показательной:

(4)

Примеры: Записать комплексные числа в показательной форме.

Правая часть формулы (3) есть комплексное число с модулем, равным 1:

. Рис. 3.

При φ=0 z==1; при φ=π/2 z==I и т.д. Таким образом, при изменении φ от 0 до 2π точки z =опишет окружность единичного радиуса против часовой стрелки.

В отличии от функции , функция периодическая с периодом T = 2π.