Лекция № 10

9.4.Двойной интеграл в полярной системе координат

Выведем формулу перехода от декартовых координат к полярным в двойном интеграле.

Пусть - непрерывная функция на ограниченной замкнутой области. Так как в этом случае предел интегральных сумм не зависит от способа разбиения области на части, разобьем область на части линиями.

с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, то есть - двумерный элемент площади в полярных координатах.

Пусть теперь область правильная относительно, то есть любой луч, исходящий из полюса и проходящий через внутреннюю точку области пересекает границу области только в двух точках. Повторный интеграл по области в этом случае представим в виде

Если любая окружность, проходящая через внутреннюю точку области пересекает линию границы в двух точках, то повторный интеграл примет вид

Если полюс лежит внутри области и любой луч пересекает границу не более чем в одной точке, то для вычисления удобно использовать формулу

Пример. Вычислить двойной интеграл в

полярной системе координат по области, ограниченной линиями

, расположенной в I квадранте.

Решение.

Пример. Вычислить двойной интеграл в полярной системе координат по области, ограниченной

окружностью.

Решение. Перейдем к полярным

координатам c полюсом в точке:Угол изменяется от до

Подставляя полярные координаты в уравнение окружности, получим, откуда или Двойной интеграл по области сводится к повторному Вычислим повторный интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница:

9. 4. Двойной интеграл в полярной системе координат.