Переход от игры в развернутой форме к игре в нормальной форме

Постановка игры в нормальной форме гораздо проще для изучения и формализации, чем игра в развернутой форме, поэтому ниже будут рассматриваться только решения игр в нормальной форме. Для игр же в развернутой форме построим формальную процедуру перехода от них к играм в нормальной форме.

Сначала введем для игры в развернутой форме понятие стратегии игрока.

Определение 3:Стратегией игрока для игры в развернутой форме называется функция, отображающая множество информационных состояний игрока на множество его ходов таким образом, что каждому информационному состоянию ставится в соответствие один из возможных в данном состоянии ходов.

Таким образом, стратегия определяет, какую альтернативу игрок должен выбирать в каждом из своих информационных состояний.

Множество стратегий каждого игрока будем обозначать X.

Элементы x декартова произведения множеств стратегий всех игроков будем называть профилями стратегий, а само декартово произведение будем обозначать X.

Для каждой вершины Q графа игры в развернутой форме и каждого профиля стратегий определим вероятность реализации данного состояния Q при использовании игроками стратегий x с помощью рекуррентной процедуры, а именно:

– если Q – корневая вершина, то для произвольных x,

– если вершина R предшествует вершине Q в графе игры, переход из R в Q определяется природой и происходит с вероятностью p, то

– если вершина R предшествует Q в графе игры и переход из R в Q определяется одним из игроков, то в случае, если данный переход содержится в профиле стратегий игроков, в противном случае .

Таким способом для каждой терминальной вершины можно определить соответствующие вероятности попадания в них при условии использования игроками профиля стратегий x.

Теперь можно определить ожидаемые значения выигрышей игроков при использовании ими профиля x по формуле:

, (1)

где - терминальные вершины графа игры.

Теперь можно определить игру в нормальной форме, которая соответствует исходной игре в развернутой форме. Множество игроков новой игры совпадает с множеством игроков исходной игры, множествами действий будут определенные выше множества стратегий , а функция выигрыша определяется формулой (1). Эта игра вполне эквивалентна в исследовании исходной игре в развернутой форме и, если определить, что для нормальной формы игры целесообразными является набор действий , тем самым полностью определяется и поведение игроков в исходной игре.

Отметим, что, поскольку выше было дано описание лишь дискретных игр в развернутой форме, то и получающиеся с помощью рассмотренной процедуры игры в нормальной форме также будут дискретными.

Пример. Рассмотрим следующую игру. Случайно выбирается некоторое число z из множества {1,2,3,4} . Каждое имеет вероятность 1/4 . Игрок А, не зная результата, выбирает целое число x , а игрок Б аналогично – число y. Выигрыш определяется следующим образом: |y-z|-|x-z|, (|x-z|-|y-z|) . Т.е. целью является выбор числа, наиболее близкого к z.

В этой игре каждый игрок реально имеет 4 стратегии {1,2,3,4}. (Остальные заведомо плохи.) Если, например, игрок А выбирает 1, а игрок Б выбирает 3, то выигрыш будет равен (2,-2) с вероятностью ¼, (0,0) с вероятностью ¼, (-2,2) с вероятностью ½. Ожидаемый выигрыш, таким образом, равен m(1,3)=(-1/2, 1/2). Подсчитывая все значения m(i,j)Б получим таблицу:

Таким образом, мы получили игру в нормальной форме.