Укороченные РС-коды

Пример 7.3

Расширением РС-кода (3,2) с g(x)=x+α и D =2 является РС-код (4,2) с D =3, порождающий многочлен которого равен g(x)=(x+1)(x+α)=x²+α²x+α, а порождающая матрица имеет вид

.

РС-коды, как и всякие групповые коды, можно укорачивать за счет сокращения числа информационных элементов. Очевидно, что при этом кодовое расстояние укороченного кода остается в точности тем же, что у исходного кода D=N–K+1. В общем случае укороченный РС-код в отличие от исходного не является циклическим.

Существует также способ построения циклического РС-кода над полем GF(q) с длиной кодовой комбинации N<q–1. Рассмотрим, как определяется порождающий многочлен для такого РС-кода. Если α–примитивный элемент GF(q), то его порядок l=q–1 и каждый ненулевой элемент GF(q) может быть найден, как некоторая степень α. Порядок l_s каждого элемента α^sÎ GF(q) является делителем q–1, так как для каждого α^sÎGF(q) справедливо равенство:

(α^s)^q–1=1.

Пусть в поле GF(q) существует элемент α^s, порядок которого 1<l_s<q–1. Тогда совокупность элементов 1, α^s, α^2s, …, образует подгруппу, которая состоит из всех степеней одного из ее элементов, т.е. является циклической и совместно с нулевым элементом образует подполе поля GF(q), т.е. является корнями многочлена .

Значит справедливо

.>

Таким образом, если в GF(q) существует элемент α^s, порядок которого 1<l_s<-1, то возможно построение циклического РС-кода над GF(q) с длиной кодовой комбинации N=l_s и порождающим многочленом

.

Пример 7.4

В поле GF(2⁸) существует элемент α¹⁵, порядок которого равен l₁₅=17, следовательно, возможен РС-код над GF(2⁸) с N=17.

Другой способ получения укороченных РС-кодов состоит в следующем. В выражении

произведем подстановку x®x^m. Тогда получим

.

Можно доказать, что многочлен x^m–α^isпринадлежит показателю ml_s, из чего вытекает, что с помощью порождающего многочлена

может быть построен РС-код с N=ml_s, состоящий из m чередующихся кодовых комбинаций РС-кодов длины l_s.