Пример 7.1

Рассмотрим, какие РС-коды можно построить над расширенным полем GF(2²). Определяем длину кодовой комбинации: N= q–1=3. Зададимся кодовым расстоянием D=2. Для его реализации необходима избыточность N–K=D–1=1. Если необходимо обеспечить D=3, то следует задать избыточность N–K=2.

Таким образом, над GF(2²) можно построить РС-коды (3,2) с D=2 и (3,1) с D=3. Для РС-кода (3,2) порождающий многочлен на основании определения РС-кода равен

g(x)=x–α

GF(2²) является расширением поля GF(2), поэтому знак «–» в g(x) следует заменить на «+» как символ операции сложения в GF(2), т.е. следует принять g(x) = x + α.

Порождающая матрица этого кода имеет вид:

.

РС-код (3,2) над GF(2²) содержит q^k=4²=16 разрешенных комбинаций. Они имеют вид:

Каждая комбинация представляет собой многочлен степени 2 или менее. Выше указаны последовательности коэффициентов каждой из кодовых комбинаций в предположении, что коэффициенты старших степеней находятся справа, т.е. информационные элементы занимают две позиции справа, а избыточный элемент – крайнюю слева.

Например, комбинация 1 представляется многочленом:α+x, комбинация 2–α²+αx, …, комбинация 14–α²+α²x+α²x².

Проследим формирование избыточных элементов для комбинаций 1 и 14.

Комбинация 1:

x x+α

x+α 1

α - остаток

Комбинация 14:

α²x²+α²x x+α

α²x²+α³x α²x+α

α³x+α²x=x+α²x=αx

αx+α²

α²- остаток

При выполнении действий над элементами поля GF(2²) полезно помнить, что оно построено по модулю неприводимого примитивного многочлена П(α)=1+α+α²=0. Ниже представлены все ненулевые элементы этого поля, являющиеся корнями многочлена x³+1:

α⁰=α³=10=1,

α¹=01=α,

α²=11=1+α.

РС-код (3,1) над полем GF(2²) с D=3 содержит 4 комбинации, каждая из которых содержит трехкратное повторение одного из элементов GF(2²):

0 0 0, 1 1 1, ααα, α²α²α².

Показать справедливость этого утверждения студенты должны самостоятельно.