Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Системою лінійних алгебраїчних рівнянь називається система вигляду:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁ x_i - невідомі

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂ a_{ij –} коефіцієнти – відомі числа

… b_i – вільні члени – відомі числа

a_m1x₁+a_m2x₂+…+a_mnx_n=b_m

Невідомі можна позначати x, y, z, ... Алгебраїчна, бо зустрічаються тільки дії додавання і множення, Лінійна, бо невідомі входять не більш як в першому степені.

Розмір системи (m x n), де m – кількість рівнянь, n – кількість невідомих.

Пр. 2x+y=-1 Система лінійних алгебраїчних рівнянь (2х2).

x – 2y=7

Система називається однорідною, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю.

Якщо хоча б один вільний член не нуль, то система неоднорідна.

Розв’язок системи – це сукупність значень невідомих, при підстановці яких в систему отримаємо всі правильні рівності.

Несумісна система - це система, яка не має розв’язків. (Відповідь. Ø )

Однорідна система не може бути несумісною, бо завжди має нульовий розв’язок (0; 0;...;0).

Еквівалентні системи – це системи, в яких однакові розв’язки.

Теорема. Система лінійних алгебраїчних рівнянь може мати один розв’язок, жодного розв’язку або безліч розв’язків.

Доведення. Якщо є два різні розв’язки () і (), то можна побудувати ще один новий розв’язок – їх середнє арифметичне

(), і аналогічно потім ще і ще.

Вам відомі такі методи розв’язування систем: виключення змінних шляхом підстановки або додавання рівнянь та для систем (2х2) графічний метод.

З шкільного курсу відомі елементарні перетворення, які залишають систему еквівалентною:

1) домноження рівняння на ненульове число,

2) додавання до одного рівняння іншого, домноженого на деяке число,

Розглянемо метод розв’язування систем з допомогою визначників – метод Крамера.

Якщо в системі кількість рівнянь дорівнює кількості невідомих, то система називається квадратною.

Теорема Крамера.Якщо головний визначник квадратної системи не дорівнює нулю, тоді система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера:

х₁=; х₂=; …; х_n= , де

- це допоміжні визначники, отримані з головного визначника заміною відповідного стовпчика на вільні члени:

,і т.д.

Доведення. Домножимо рівняння системи на відповідні алгебраїчні доповнення до елементів першого стовпця і додамо.

A₁₁ · a₁₁x₁+a₁₂x₂=b₁

A₂₁ · a₂₁x₁+a₂₂x₂=b₂

x₁(a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁)=x₁Δ; x₂(a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁)=0, за властивостями визначників.

x₁(a₁₁A₁₁+a₂₁A₂₁)+ x₂(a₁₂A₁₁+a₂₂A₂₁)=b₁A₁₁+b₂A₂₁; b₁A₁₁+b₂A₂₁=Δ₁, за властивістю Лапласа для першого стовпця. Отже отримали рівняння-наслідок

x₁Δ=Δ₁.

Δ0, то х₁=; аналогічно для х₂,…,х_n

Отже, розв’язок може бути тільки один. Ще треба перевірити чи ця пара чисел справді є розв’язком. Підставимо її в перше рівняння початкової системи: a₁₁Δ₁/Δ+ a₁₂Δ₂/Δ=b₁ | · Δ a₁₁Δ₁+ a₁₂Δ₂=b₁ Δ

a₁₁(b₁A₁₁+b₂A₂₁)+ a₁₂(b₁A₁₂+b₂A₂₂)=b₁ (a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂)

Підкреслені вирази в лівій і правій частині співпадають після розкривання дужок, а те що залишається в лівій частині: b₂ (a₁₁A₂₁+a₁₂A₂₂)=0 за властивістю визначників.

Пр. 2x+y=-1 Квадратна система лінійних алгебраїчних рівнянь (2х2).

x – 2y=7

-- можна використати метод Крамера.

,

х==-5/(-5)=1; y==15/(-5)=-3; Перевірка: 2·1+(-3)=-1, 1-2·(-3)=7 вірно.

Відповідь. {(1;-3)}.