Волны в прямоугольном волноводе

1. В прямоугольном волноводе (см. рис. 3.7) могут распространяться волны электрического (Е) и магнитного (H) типов. Эти волны принято обозначать как волны Е_mn и H_mn. При этом величины m и n могут принимать любые положительные значения.

Отметим, что для волн класса H_mn индекс m либо n может принимать значение нуль.

2. Критическая длина волны как для волн Е_mn, так и для волн H_mn, зависит от размеров поперечного сечения волновода, типа волны и может быть определена по формуле

, (3.8)

где a и b – размеры широкой и узкой стенок волновода.

3. Из формулы (3.8) следует, что в случае a > b величина l_кр принимает наибольшее значение при m = 1, n = 0. Отсюда следует, что основным типом волны в прямоугольном волноводе является волна H₁₀. При этом критическая длина волны H₁₀ равна удвоенному размеру широкой стенки волновода, т.е.

l_кр = 2а. (3.9)

4. Векторы и волны H₁₀ в волноводе без потерь определяются следующими формулами:

, (3.10)

, (3.11)

где Н₀ – любая постоянная, которая определяется мощностью источников, возбудивших волну,

. (3.12)

5. Из формул (3.10) и (3.11) видно, что в поперечном сечении волновода вектор направлен перпендикулярно широкой стенке волновода, вектор – параллельно. При этом амплитуда вектора меняется по закону . Она максимальна в точках посреди широкой стенки, и убывает до нуля при приближении к узким стенкам.

Поперечные составляющие векторов и имеют одинаковые фазы, а продольная составляющая вектора опережает их на 90⁰.

6. Подставим формулу (3.9) в соотношения (3.5), (3.6) и (3.7), тогда получим, что для основного типа волны прямоугольного волновода:

, , .

7. Коэффициент затухания волны Н₁₀ в стенках волновода можно рассчитать по формуле:

,

гдеR_S–поверхностное сопротивление материала, из которого выполнен волновод, может быть определено по формуле:

.

8. Условие одноволнового режима в прямоугольном волноводе при а ³ 2b имеет вид

.

9. На поверхности стенок волновода протекают поверхностные токи, которые связаны с вектором магнитного поля следующей формулой:

,

где – орт внутренней нормали к стенкам волновода; – значение магнитного поля волны на поверхности стенок волновода.

На рис. 3.9. в качестве примера представлена структура токов (силовые линии вектора ) для волны Н₁₀.

Рисунок 3.9 – Структура токов на стенках волновода для волны Н₁₀

Распределение тока по стенкам волновода важно знать как при конструировании самого волновода, так и при конструировании волноводных устройств. Большая плотность токов через ребро прямоугольного волновода требует хорошей проводимости этих участков. При создании на базе волноводов устройств различного назначения приходится прорезать в нем узкие щели. Щели не вызывают заметных потерь на излучение и не искажают структуру поля волны, если они расположены вдоль линий тока. Для волны Н₁₀ такими щелями являются поперечные щели на узких стенках и продольная щель, расположенная посредине широкой стенки волновода. На практике часто возникает задача создания излучающей щели, которая является элементом щелевой антенны или используется для ввода энергии в волновод. Излучающая щель хотя бы часть периода пересекается линиями тока.

10. Как отмечалось, в прямоугольном волноводе могут распространяться также высшие типы волн, которые могут быть использованы в тех или других волноводных устройствах. Структура поля высших типов волн имеет более сложный характер. В качестве примера на рис. 3.10 и рис. 3.11 представлены в поперечном сечении волновода структуры поля волн Н₁₁ и Е₁₁.

3.5. Волны в круглом волноводе

Распространение волн в круглом волноводе удобно изучать в цилиндрической системе координат. В этой системе положение вектора в пространстве определяется координатами и соответствующими ортами . На рис. 3.12 представлено сечение круглого волновода радиуса .

Рассмотрим особенности распростране­ния волн в круглом волноводе.

1. В круглом волноводе, как и в прямо­угольном, могут распространяться волны электрического (Е_mn) и магнитного (Н_mn) типов. Для круглого волновода критические длины волн зависят от радиуса поперечного сечения волновода, типа волны и могут быть определены по следующим формулам:

, , (3.13)

где v_mn – значение n-го корня функции Бесселя m-го порядка; – значение n-гокорня производной функции Бесселя m-гo порядка, – радиус волновода.

Отметим также, что для круглого волновода индексам m и n, которые определяют тип волны, также можно придать четкий физический смысл. Именно, индекс n определяет число полуволн, укладывающихся от оси волновода до его стенки, а индекс m определяет периодичность поля по полярному углу j.

В табл. 3.1 приведены корни функций Бесселя и ее производной, а также критические частоты волн в круглом волноводе с воздушным заполнением.

Таблица 3.1 – Корни функций Бесселя и ее производной

Н-волны	Е-волны
m – n	n¢	fкр, ГГц см	m – n	n	fкр, ГГц см
1–1	1,8412	8,7849	0–1	2,4048	11,4743
2–1	3,0542	14,5728
0–1	3,8317	18,2824	1–1	3,8317	18,2824
3–1	4,2012	20,045
4–1	5,3176	25,372	2–1	5,1356	24,504
1–2	5,3314	25,438	0–2	5,5201	26,338
5–1	6,4156	30,611	3–1	6,3802	30,442
2–2	6,7061	31,997
0–2	7,0156	33,474	1–2	7,0156	33,474

2. Из табл. 3.1 и формул (3.13) видно, что критическая частота принимает наименьшее значение (l_кр – наибольшее) при m = 1, n = 1. Отсюда следует, что основным типом волны в круглом волноводе является волна H₁₁. При этом критическая длина волны H₁₁ определяется по формуле

. (3.14)

3. Проекции векторов и волны Н₁₁ на орты цилиндричес­кой системы координат для случая волновода без потерь имеют вид

,

,

,

,

,

где , – функция Бесселя первого порядка и ее производная; Н₀ – любая постоянная, которая определяется мощностью источников, возбудивших волну:

. (3.15)

4. На рис. 3.13,а показана структура поля волны H₁₁ в поперечном сечении круглого волновода.

а) б) в)

Рисунок 3.13 – а) волна Н₁₁, б) волна Е₀₁, в) волна Н₀₁

5. Отметим, что каждой волне прямоугольного волновода найдется соответствующая волна в круглом волноводе, т.е. такая волна, которая возни­кает в круглом волноводе при плавной трансформации прямоугольного волно­вода в круглый. Например, волна Е₀₁, структура поля которой приведена на
рис. 3.13,б, соответствует волне Е₁₁ прямоугольного волновода. Обратное не имеет места. В круглом волноводе имеется бесконечное число волн типа Н_0m,
m = 1, 2, 3, …. , которым нет аналога в прямоугольном волноводе. На рис. 3.13,в приведе­на структура поля волны Н₀₁. У стенок волновода этой волны, существует лишь одна составляющая поля Н_z, поэтому в стенках существуют лишь кольцевые токи J_j. Отсутствие продольных токов делает волны Нмало чувствитель­ными к поперечным щелям. Возможен, например, небольшой зазор между двумя секциями волновода.

6. Подставим формулу (3.14) в соотношения (3.5), (3.6) и (3.7), тогда получаем, что для основного типа волны круглого волновода

, , .

7. Коэффициент затухания волны H₁₁ в стенках волновода можно рассчитать по формуле:

8. Условие одноволнового режима в круглом волноводе имеет вид

2,61а < l < 3,41a.