Учебные вопросы занятия.

Качества функционирования систем

Лекция 11 Возможности информационного подхода к оценке

ЛЕКЦИЯ

Защиты информации

 

по учебной дисциплине "Теория информации "

для студентов специальности 075500 (090105) – Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем

 

 

 

Ставрополь 2009 г.

Цель занятия: Изучить общие характеристики автоматизированных систем управления с точки зрения оценивания степени неопределенности состояния объекта управления, а также основные методы получения информационной оценки точности результата контроля.

 

 

1.Оценка степени неопределённости состояния объектов управления

2. Информационное обоснование оптимального алгоритма контроля и управления.

3. Информационная оценка точности результата контроля

 

1. Оценка степени неопределённости состояния объектов

управления

 

При контроле и управлении любой объект можно рассматривать как многомерную динамическую систему, на которую наряду с закономерными и случайными управляющими воздействиями или сигналами контроля влияют различные случайные помехи в виде внешних и внутренних возмущений.

Состояние такой системы будет определяться некоторым набором выходных параметров, определённым образом связанным с воздействием на систему через вектор-оператор системы. Все выходные параметры носят случайный характер и, следовательно, должны быть описаны случайными функциями времени.

Наиболее полными характеристиками для описания системы управления обладают дифференциальные многомерные законы распределения (сравнить с Л №2).

Однако они не дают интегральной качественной и количественной оценки неопределённости объекта в процессе управления и контроля.

Для интегральной оценки неопределённости объекта с непрерывным множеством состояний в процессе управления удобно применять дифференциальную энтропию состояния объекта.

(1)

где – вектор выходных параметров (координат) объекта.

При независимых выходных координатах энтропия объекта равна сумме частных энтропии

(2)

Для объекта с двумя дискретными состояниями (исправное и неисправное) энтропия определяется

(3)

где – вероятность исправного состояния объекта. При этом вероятность связана с многомерной погрешностью распределения вероятностей w(X) соотношением

(4)

где – область допустимых значений вектора Х.

Так в связи с технологическим и эксплуатационном разбросом параметрам объекта принято определять, что закон распределения таких параметров близок к нормальному

(5)

где и – математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение.

При нормальном законе распределения энтропия выходных параметров

(6)

откуда

(7)

Подставляя выражения (6) и (7) в (4) получаем

(8)

Данное выражение показывает зависимость вероятности исправного состояния объекта от энтропии выходных параметров.

 

2. Информационное обоснование оптимального алгоритма

контроля и управления.

 

Пропускная способность систем контроля.

Пропускная способность процесса контроля является динамической характеристикой и выражает максимально возможное количество информации, которое можно получить в процессе контроля в единицу времени:

(9)

где – максимальное количество информации, которое можно получить в среднем при контроле объекта, – мат. ожидание времени затрачиваемого на контроль 1-го объекта.

Если объект контроля имеет один параметр или несколько параметров контролируемых параллельно, то определяется временем контроля одного параметра.

При последовательном контроле нескольких параметров объекта контроль обычно прекращается после обнаружения первого отказа. В связи с этим при последовательном контроле время будет определяться вероятностью обнаружения отказов отдельных параметров 0.

(10)

где – время контроля i-го параметра объекта, – априорная вероятность того, что при контроле (i-1)-го параметра отказ объекта не будет обнаружен.

При заданном законе распределения погрешностей контроля, количество информации, получаемое в процессе контроля, будет максимально в случае статистической независимости и при равномерном законе распределения контролируемых параметров. В этом случае количество информации, получаемое при контроле

(11)

где и – пределы изменения i-го контролируемого параметра.

Подставив (10) и (11) в выражение (9) получаем:

(12)

Если при контроле решается двухальтернативная задача, то максимальное количество информации будит получено при одинаковой вероятности «норма» и «ненорма» контролируемых параметров. При этом выражение (12) примет вид:

(13)

Из выражения (12) и (13) видно, что параметр является характеристикой быстродействия и точности процесса контроля. При заданной пропускной способности контроля точности может быть повышена в обмен на снижение быстродействия и наоборот.

 

 

Всякий сложный объект можно представит в виде системы состоящей из нескольких динамических, последовательно соединенных звеньев, которые в свою очередь состоят из элементов.

При эксплуатации таких систем наиболее важным является оптимизация алгоритма управления и контроля параметров системы.

Определение оптимальных алгоритмов контроля системы возможно на основе теории информации, теории игр, теории массового обслуживания, теории последовательного анализа Вальда.

При определении оптимальности алгоритма контроля состояния объекта можно использовать 2 различных критерия:

- критерий максимального количества информации в единицу времени, с применением которого контроль и поиск неисправностей начинается с опыта дающего максимальное количество информации в единицу времени;

- критерий максимальной ценности информации, с применением которого контроль состояния объекта начинается с опыта, дающего максимальное количество информации.

Критерий максимального количество информации целесообразно использовать при автоматическом контроле и управлении работы объекта.

Критерии максимальной ценности информации следует использовать при разработке инструкции по эксплуатации оборудования обслуживающим персоналом.

Рассмотрим методику выбора оптимального алгоритма контроля и управления объекта, основанной на применении критерия максимального количество информации. При этом предполагается, что система контроля работает без ошибок.

Неопределённость состояния контролируемой системы до начала контроля и поиска неисправностей характеризуется её полной энтропией H(x).

Процесс контроля представляет собой сложный опыт , состоящий не более чем из k испытаний а.

Среднее количество информации, получаемое при любом испытании аотносительно состояния системы Х.

(6)

где – средняя условная энтропия состояния системы после осуществления опыта а, p(A) – вероятность отдельных исходов Aопыта а.

Когда исход сложного опыта однозначно определён состоянием системы, характеризуемое вектором Х, тогда энтропия системы после осуществления опыта H(Х)=0, а среднее количество информации о состоянии системы при этом

Когда исход сложного опыта не полностью раскрывает работоспособность состояния системы, то

?*: .

Основа оптимального контроля состоит в выборе такого минимального количества опытов а, являющихся составляющими сложного опыта , любой из которых давал бы максимальное количество информации.

Процесс контроля должен вестись по алгоритму, составленному на основе критерия

т.е. процесс контроля должен начинаться с опыта, дающего максимальное количество информации.

После осуществления опыта система будет обладать энтропией некоторого нового состояния .

Предположим, что состояние системы до начала процесса контроля характеризуется состояниями: система неисправна с вероятностью р, система неисправна с вероятностью р-1.

Для упрощения задачи положим, что система становится неработоспособной вследствие отказа одного из элементов m, соединенных цепочкой, имеющего условную вероятность отказа , определяемую на основе статистических сведений о надёжности элементов.

Т.о., отказы элементов системы предполагаются независимыми несовместимыми, а для полной группы элементов справедливо равенство

.

Энтропия системы определяется

.

Предположим, что при осуществлении опыта контролируется n элементов системы, а также, что имеется 2 исхода:

- контролируемая часть исправна, вероятность этого исхода определяется

- контролируемая часть неисправна, вероятность этого исхода

.

Средняя энтропия (условная) состояния системы поле осуществления первого опыта:

Количество информации о состоянии системы получаемое при осуществлении опыта:

Задача состоит в том, чтобы при первом этапе контроля выбрать такое количество контролируемых элементов, при котором количество получаемой информации было бы максимальным.

Из последней формулы видно, что зависит от Р и является максимальным при выполнении условия или .

При р=0 должно быть справедливо равенство .

При равенстве вероятностей отказа элементов получим , т.е. первым этапом должна быть охвачена половина элементов объекта.

Таким образом, очевидно, что с ростом Р увеличивается и n.

Представленый алгоритм осуществления контроля состояния объекта управления позволяет реализовать данную процедуру с точки зрения оптимальности.

 

3 Информационная оценка точности результата контроля

 

Контроль – одна из разновидностей процесса получения, преобразования, хранения и накопления информации.

Информация, получаемое в результате контроля, количественно оценивается уменьшением энтропии от значения h(x), которое характеризует неопределённость объекта контроля перед контролем до значения h(X/Y), которое остаётся после получения результата контроля Y, т.е. как

(14)

hАпостериорная энтропия h(X/Y) hопределяемая распределением вероятностей погрешностей контроля. Т.к. данная энтропия обуславливает уменьшение количества информации, получаемой при контроле, то говорят, что погрешности контроля оказывает дезинформационное действие.

Значение h(X/Y) определяется, прежде всего, законом распределения погрешностей контроля. Причём при разных законах распределения значения h(X/Y) изменятся даже, если дисперсии погрешностей одинаковые.

Если погрешность распределена равномерно в пределах от до , то энтропия погрешности

(15)

При этом дисперсия такой погрешности определяется

(16)

Подставляя равенство (16) в выражение (15) получаем связь h(X/Y) и дисперсии ошибок

(17)

Если погрешность распределена по нормальному закону то

(18)

Из сравнения выражений (12) и (13) видно, что при равных дезинформационное действие нормально распределённых погрешностей больше, чем равномерно распределённых.

Т.о., очевидно, что данный момент резко снижает эффективность использования рассмотренных информационных оценок. Для ликвидации данного несовершенства введено понятие – энтропийное значение погрешности.

Энтропийное значение погрешности – это значение погрешности с равномерным законом распределения, которое вносит такое же дезинформационное действие, что и погрешность с заданным законом распределения вероятностей.

Данное значение погрешности с произвольным законом распределения w(z) может быть получено из равенства

(19)

откуда

(20)

Энтропийное значение погрешности связано со среднеквадратическим отклонением соотношением

(21)

где – энтропийный коофицент, величина которого определяется законом распределения погрешностей (т.е. для нормального закона =2,07, для равномерного распределения =1,73).

Следует отметить, что представленный выше метод обеспечивает получение требуемой характеристики - этропийную погрешность при информационной оценке точности результата контроля автоматизированных систем управления.

Данный метод оценки точности результатов контроля относится к случаю, когда контроль параметров осуществляется по критерию количественной оценки, т.е. по существу сводится только к измерению параметров.

В тех случаях, когда контроль осуществляется по допусковому критерию, т.е. когда целью контроля является определение, находится или нет величина контролируемого параметра в пределах допуска, энтропия погрешности контроля определяется следующим соотношением

(22)

где рош – общая безусловная вероятность ошибочного решения относительно состояния, контролируемого параметра.