Пример 1.
Чему равно ускорение Луны и каково отношение этого ускорения к ускорению свободного падения на поверхности Земли?
Решение: Используя формулу для центростремительного ускорения, находим, что ускорение Луны 
, где R -расстояние от Земли до Луны, равное 3,86 • 105 км. Период обращения Луны вокруг Земли T = 27,3 суток или 2,36 -106 с. Подставляя эти значения в выражение для а, имеем а = 2,73-10-3 м/с2.
Вблизи поверхности Земли ускорение равно g = 9,8 м/с2.
Таким образом, отношение а/g = 1/3590 = (1/60)2 .
Ньютон выполнил простые вычисления, близкие к описанным в примере 1, и обнаружил, что сила тяготения, действующая со стороны Земли на яблоко, удаленное к Луне, уменьшится в 3600 = (60)2 раз, что соответствует отношению квадратов расстояний.
Отсюда Ньютон заключил, что сила тяготения между двумя телами должна убывать обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.
Он предложил универсальный закон гравитационного притяжения между любыми двумя телами:
Для обозначения коэффициента пропорциональности используется прописная буква G. Таким образом,
Пример 2.
Предположив, что средняя плотность Земли равна ρ = 5 • 103 кг/м3, Ньютон нашел численное значение G. (Его догадка с точностью 10% совпала с истинным значением.) Получите выражение для G через ρ , rз и g.
Решение: Применим формулу (5-1)
к силе, действующей между Землей и яблоком.
Обозначим массу Земли Мз,
а массу яблока т.
Тогда
F = G Мз т/ r2 .
Полагая r равным расстоянию rз между центром Земли и яблоком, имеем
F= G Мз т / rз 2.
В соответствии со вторым законом Ньютона эта сила должна равняться та, причем в нашем случае а = g. Таким образом,
G Мзт / rз 2 = mg,
откуда
G=gR2з /Mз.
Учитывая, что Mз равна произведению плотности на объем, т. е.
Мз = ρ (4/3) πR3з, получаем
G= 3gR2з / 4ρ πR3з = 3g / 4ρ πRз
Подставляя сюда Rз = 6,37-106 м и ρ = 5 х 103 кг/м3, имеем
G = 7,35- 10-11 Н -м2 •кг -2,
что всего лишь на 10% превышает принятое значение
G = 6,67. 10-11 Н -м2 •кг -2
Сравнивая ускорение свободного падения на Луне с величиной этого ускорения на поверхности Земли, Ньютон предположил, что Земля ведет себя так, как если бы вся ее масса была сконцентрирована в центре. Ньютон догадался, что такое поведение справедливо в случае сил, изменяющихся обратно пропорционально квадрату расстояния. Однако ему удалось получить строгое доказательство лишь 20 лет спустя.
«Взвешивание –Земли»
Тяготение действует на огромных расстояниях.
Но закон Ньютона утверждает, что взаимно притягиваются все предметы.
А правда ли, что любые два предмета, притягивают друг друга?
Можем ли мы сами поставить такой опыт, а не гадать, глядя на небо, притягиваются ли планеты?
Такой прямой опыт сделал Кавендиш (1731 —1810) при помощи прибора, который показан на рис. 11. Идея состояла в том, чтобы подвесить на очень тонкой кварцевой нити стержень с двумя шарами и затем поднести к ним сбоку два больших свинцовых шара, как показано на рисунке. Притяжение шаров слегка перекрутит нить — слегка, потому что силы притяжения между обычными предметами очень слабы. Силу притяжения между двумя шарами можно измерить. Кавендиш назвал свой опыт «взвешиванием Земли».
Педантичный и осторожный преподаватель наших дней не позволит студентам так выразиться; нам пришлось бы сказать «измерение массы Земли». При помощи такого прибора Кавендишу удалось непосредственно измерить силу, расстояние и величину обеих масс и, таким образом, определить постоянную тяготения G.
Вы скажете: «Взвешивание Земли представляет собой почти такую же задачу. Мы знаем силу притяжения, знаем массу объекта, который притягивается, и знаем, насколько он удален, но мы не знаем ни массы Земли, ни постоянной тяготения, а только их произведение».
Измерив постоянную и зная, как Земля притягивает предметы, мы сможем вычислить ее массу.
Рис. 11
Этот опыт впервые позволил косвенно определить, насколько тяжел, массивен шар, на котором мы живем. Результат его невольно вызывает удивление, и именно поэтому Кавендиш назвал свой опыт «взвешиванием Земли», а не «определением постоянной уравнения тяготения».