Системы координат, применяемые в геодезии
Широкое применение приемников спутниковых навигационных систем привело к тому, что наибольшее распространение в практике геодезии в нашей стране получили три пространственные геодезические системы координат. Во-первых, это пространственная прямоугольная система координат. Это геоцентрическая экваториальная система координат, ось Z которой направлена на северный полюс Земли, а ось Х — в точку Гринвича G пересечения гринвичского меридиана с экватором (рис. 1.3). Полученная система координат (OXYZ) участвует в суточном вращении Земли, оставаясь неподвижной относительно точек земной поверхности и потому удобна для определения положения объектов земной поверхности.
Положение точек земной поверхности относительно земного эллипсоида определяется в системе пространственных эллипсоидальных координат геодезической широтой В, долготой L и высотой Н (см. рис. 1.3).
Рис. 1.3. Связь прямоугольных и эллипсоидальных координат
Геодезической широтой точки А называют острый угол В, образованный нормалью к поверхности эллипсоида в некоторой точке и плоскостью экватора ЭGЭ. Геодезической долготой точки А называют двугранный угол, образованный плоскостью начального PGP’ и геодезического меридиана данной точки. Широты точек северного полушария называют северными и обозначают со знаком « + », соответственно южные широты сопровождают знаком « - ». Точки, расположенные восточнее начального меридиана, имеют восточные долготы, западнее — западные. В отечественной геодезической литературе долготы принято отсчитывать от начального меридиана против хода часовой стрелки от 0 до 360о. Отрезок нормали АоА называют геодезической высотой Н.
Высота геоида над эллипсоидом отсчитывается по нормали и может иметь как положительный, так и отрицательный знаки. Отрезок Аоп называют радиусом кривизны нормального сечения и обозначают через N. Отрезок
A’on = е2N, где е2 = α(2 - α), есть квадрат эксцентриситета меридианного эллипса.
Из рис. 1.3 следует, что пространственные прямоугольные координаты связаны с эллипсоидальными следующей группой формул
X=(N+H)cosBcosL,
Y=(N+H)cosBsinL, (1.1)
Z=(b2N/a2 + H)sinB,
где N= a2/(a2cos2B + b2sin2B)1/2.
Обратным преобразованием формул (1.1) можно получить формулы вычисления эллипсоидальных координат по прямоугольным следующего вида
B= arctg(Z + e’2 b sin2θ)/(p – e2a cos2θ);
L= arctg(Y/X); (1.2)
H= p/cosB – N,
где е и е’ -- первый и второй эксцентриситеты земного эллипсоида,
е2=(а2 – b2)/ a2; e’2=( a2 – b2)/ b2,
где р и θ – вспомогательные величины, определяемые формулами
p=(X2 + Y2)1/2, θ= arctg(Za)/(pb).
Прямоугольные и эллипсоидальные пространственные координаты широко используют при уравнивании государственных геодезических сетей, решении задач высшей геодезии, в морской и воздушной навигации. При решении задач инженерной геодезии от них переходят к системе плоских прямоугольных координат в проекции Гаусса-Крюгера. В этом случае эллипсоид вписывают в поперечный цилиндр, касающийся поверхности цилиндра по осевому меридиану зоны. С целью уменьшения величин искажения при проектировании зоны из центра эллипса на боковую поверхность цилиндра проектируют точки поверхности эллипсоида и затем поверхность цилиндра разворачивают в плоскость. При таком проектировании осевой меридиан зоны и экватор отображаются прямыми, которые принимаются за ось х и у соответственно (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Конформная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера
Проекция Гаусса является основной в нашей стране как для обработки геодезических координат, так и для построения топографически карт. К ее достоинству относятся: сохранение подобия в бесконечно малых частях, т.е. конформность (равноугольность) и сохранение масштаба по оси х. Чтобы уменьшить величины искажений, ширину зоны ограничивают величиной 6° или 3° по долготе. Таким образом, в каждой зоне вводится своя система прямоугольных координат. При построении топографических карт применяют шестиградусные зоны. В нашей стране координаты х — положительные. Чтобы не применять отрицательных координат у, начало координат смещают на 500 км к западу. При оцифровке километровой координатной сетки перед координатой у ставят номер зоны. Поэтому в записи у = 4311 км первая цифра — 4 означает номер зоны, а 311 — расстояние километровой линии от смещенного меридиана зоны. Для перехода от эллипсоидальных координат к прямоугольным координатам системы Гаусса-Крюгера х и у, последние представляют в виде некоторых эллиптических функций: х =f(В,L); у=f(В,L). Для практического использования формулы дифференцируют, разлагают в ряд с необходимой степенью точности, после чего получают тот или иной вид формул, удобный для вычислений. Так при работе в одной шестиградусной зоне достаточно эффективными можно считать формулы
X=S+(L2r sin B)/2 + (L2r cos2B sin B)(5 – tg2B)/24
Y= Lr + (L3r cos2B(1 – tg2B))/ 6 , (1.3)
где В – геодезическая широта точки в радианах; L – отклонение от осевого меридиана зоны в радианах,
S= 6 367 558,5 B – 16 036,5 sin 2B + 16,8 sin 4B;
r= a cos B/(1 – e2 sin B sin L)1/2 – радиус кривизны параллели; е2=0,00669343.
Искажения длин линий ∆S в проекции Гаусса-Крюгера возрастают по мере удаления от оси х в соответствии с формулой ∆S =ymS/2R, где ym = (y1 + y2 )/ 2 и R — средний радиус кривизны.
Для решения обратной задачи можно использовать экономичный принцип сжимающих отображений в соответствии с формулами
L=r(y – (L2r cos2 B(1- tg2B)))/6,
B=(x+16036,5sin2B – 16,8sin4B – (Lr sinB)/2 –(L4r cos2B sin B)×
× (5 – tg2B)/24)/ 6367558,5.
Итерационный процесс вычисления долготы L и широты B точки сходится достаточно быстро.
Кроме перечисленных геодезических, в практике геодезии широко используют две сферические системы координат: астрономическую и географическую. Координатами в них являются широта и долгота точки сферы. Астрономическая широта (φ — угол, образованный отвесной линией в данной точке и плоскостью, перпендикулярной оси вращения Земли. Астрономическая долгота λ — двугранный угол, составленный плоскостями начального меридиана и меридиана данной точки. Достоинство астрономических координат заключается в автономности их определения для каждой точки. Расхождения между эллипсоидальными и астрономическими широтами и долготами обусловлено, как уже было отмечено ранее, уклонением отвесной линии от нормали к поверхности референц-эллипсоида. Уклонения отвеса даже в горных районах не превышают 30 — 40", поэтому при составлении карт ими чаще всего пренебрегают и отождествляют обе системы координат, называя общую систему географической.