Метод максимальної правдоподібності для дискретних випадкових величин.

Метод максимальної правдоподібності

Метод аналогій

Методи визначення точкових статистичних оцінок

Цей метод базується на тому, що для параметрів генеральної сукупності вибирають такі самі параметри вибірки. Наприклад, для оцінок , вибирають, відповідно, , .

Нехай Х дискретна випадкова величина, яка в результаті n незалежних дослідів приймає значення . Припускається, що вид закону розподілу відомий, але невідомий параметр який входить до нього, тобто .

Ймовірність події яка полягає в тому, що одночасно будуть спостерігатися значення дорівнює (це випливає з теореми про ймовірність добутку незалежнихподій).

Чим більше , як функція, тим параметр кращий в тому сенсі, що довіра до набору є більшою, тому функцію називають функцією правдоподібності, для дискретної випадкової величини Х.

Суть методу найбільшої правдоподібності полягає в тому, що за оцінку беруть таке його значення яке дає функції максимум.

Метод найбільшої правдоподібності, запропонований англійським біологом, математиком і статистиком Р. Фішером (1890-1962)

Функцію - називають оцінкою найбільшої правдоподібності.

Оскільки і досягають максимуму при тому ж значенні то на практиці розглядають задачу максимізації , тому що працювати з сумами простіше ніж з добутками.

Логарифм функції правдоподібності називають логарифмічною функцією правдоподібності.

Для розв’язку задачі максимізації треба:

1) розв’язати систему

2) для знайденого розв’язку системи перевірити умову матриця складена з елементів є від’ємно визначеною.

У випадку скалярного параметра наведений алгоритм має особливо простий вигляд: