Числові нерівності та їх властивості

З двох числових виразів більшим називається той, значення якого більше, і позначається знаком „ >”:

де а і b є відповідно значеннями виразів А і В. Відношення "більше" на множині числових виразів є відношенням строгого лінійного порядку, бо таким воно є для числових множин. Це дає можливість класи рівних між собою числових виразів строго лінійно впорядкувати.

Відношення "менше" (позначається "<") означається як обернене до відношення "більше", а тому воно також є відношенням строгого лінійного порядку.

Відношення "більше або дорівнює" (позначається ">") на множині числових виразів означається як об’єднання двох відношень "рівне" і "більше". Відношення ж "менше або дорівнює" (позначається "") може бути означене або як об’єднання відношень "рівне" і "менше", або ж як відношення, обернене до відношення "більше або рівне". Останніх два відношення є відношеннями нестрогого лінійного порядку на множині числових виразів.

Два довільних числових вирази А і В, між якими поставлено один із знаків "<", ">", "<", ">", утворюють числову нерівність (записується А<В, А>В, А<В, А>В). Числові вирази А і В називаються частинами числової нерівності, А – лівою, В – правою.

Числова нерівність є також висловленням, яке істинне тоді і тільки тоді, коли значення лівої частини перебуває зі значенням правої частини в тому відношенні, що визначається знаком нерівності. Істинне висловлення, що задається числовою нерівністю, називається істинною числовою нерівністю.

До числових нерівностей, як і до числових рівностей, застосовуються операції логіки висловлень, зокрема кон’юнкція і диз’юнкція. Наприклад, для числових нерівностей 3 < 5 і 7 > 10 їх кон’юнкція має вигляд (3 < 5) л (7 > 10) записується

а диз’юнкція (3 < 5) л (7 > 10) записується

Логічне значення кон’юнкції – "0", а диз’юнкції – "1", бо складові висловлення мають різні логічні значення: "3 < 5" – "1", а "7 > 10 " – "0".

Дві або більше числові нерівності називаються нерівностями одного (однакового) смислу, якщо в усіх них ліві і праві частини перебувають в одному і тому ж відношенні порядку. Дві числові нерівності називаються нерівностями протилежного смислу, якщо відношення, в якому з перебувають ліва і права частина однієї з них, є оберненим до відношення порядку, що пов’язує ліву і праву частини другої нерівності.

Наприклад, числові нерівності А₁ > В₁, А₂ > В₂, А₃ > В₃ є нерівностями однакового смислу, а числові нерівності С £ F і С ³ F є нерівностями протилежного смислу.

Істинні числові нерівності мають ряд властивостей, що базуються на їх означеннях та властивостях дійсних чисел:

1.

2. l)

2)

Доведемо І). Нехай А і В – довільні числові вирази, значеннями яких є числа а і b, відповідно такі, що

А >В Û за означенням відношення "більше" для числових виразів;

а > b Û за означенням відношення "більше" для дійсних чисел;

а – b > 0 Û за означенням відношення "більше" для числових виразів;

А – В > 0.

3. Якщо до обох частин числової нерівності додати (відняти) один і той же числовий вираз, то знову одержимо нерівність того самого смислу, що й задана, зокрема

1)

2)

Доведемо 1). Нехай А, В, С – довільні числові вирази, значення яких а, b, с відповідно такі, що

А > В Þ за властивістю 2;

А – В > 0 Þ за означенням відношення "більше" для числових виразів;

а – b > 0 Þ за властивістю нуля при додаванні дійсних чисел;

(а – b) + 0 > 0 Þ за властивістю додавання протилежних чисел;

(а – b) + (с – с) > 0 => за властивістю додавання і віднімання дійсних чисел;

(а + с) – (b + с)>0 Þ за монотонністю додавання дійсних чисел;

а + c > b + с Þ за означенням відношення "більше" для числових виразів;

А + С > В + С.

Наслідок 1. Якщо хоч одна з частин числової нерівності є алгебраїчною сумою числових виразів, то будь-який доданок можна перенести з однієї частини в другу, змінивши знак перед ним на протилежний, зокрема

Наслідок 2. Якщо в обох частинах числової нерівності є рівні доданки, то їх можна опустити, і одержимо нерівність того ж смислу, зокрема

4. Числові нерівності одного і того ж смислу можна почленно додавати, і знову одержимо нерівність того ж смислу, що й дані, зокрема

Нехай А, В, С, F – довільні числові вирази такі, що

(А > В) Ù (С > F) Þ за властивістю 3;

(А + С > В + С)Ù Þ за транзитивністю відношення "більше"

(В + С > В + F)

А + С >В + F.

5. Числові нерівності протилежних смислів можна почленно віднімати, і одержимо нерівність того ж смислу, що й нерівність, від якої віднімають, зокрема

Нехай А, В, С, F – довільні числові вирази такі, що

(А > В) Ù (С < F) Þза властивістю 1;

(А > В) Ù (F > С) Þ за властивістю 4;

А + F > В + С Þ за наслідком 1;

A – C > B – F.

Розглядаючи наведені нижче властивості числових нерівностей слід звернути увагу на те, що знаки одержуваних нерівностей істотно залежать від того, на додатний чи від’ємний числові вирази множаться вихідні нерівності.

6. Якщо обидві частини числової нерівності помножити (поділити) на один і той же числовий вираз, значення якого додатне, то одержимо нерівність того ж смислу, що й дана, зокрема

7. Якщо обидві частини числової нерівності помножити (поділити) на один і той же числовий вираз, значення якого від’ємне, то одержимо нерівність протилежного смислу до даної, зокрема

Нехай А, В, С – довільні числові вирази, значеннями яких є дійсні числа а, Ь, с, відповідно такі, що

(А > В) Ù (С < 0) Þ за означенням відношень " > " і " < " для числових виразів;

(а > b) Ù (с < 0) Þ за властивістю множення дійсних чисел;

ас < be Þ за властивістю відношень ">" і "<" для числових виразів;

АС < ВС.

8. Числові нерівності одного і того ж смислу з додатними частинами можна почленно множити і одержимо нерівність того ж смислу, що й задані, зокрема

Нехай A, B, C, F – довільні додатні числові вирази, такі, що

(А > В) Ù (С > F) Þ за властивістю 6;

(АС > ВС) Ù Þ за транзитивністю відношення "більше"

Ù (ВС > BF) для числових виразів;

AC > BF.

Наслідок 3. Обидві частини числової нерівності з додатними частинами можна підносити до степеня з натуральним показником і одержимо нерівність того ж смислу, що й задана, зокрема

9. Дві числові нерівності одного і того ж смислу з від’ємними частинами можна почленно перемножати і одержимо нерівність протилежного смислу до даних нерівностей, зокрема

10. Відношення порядку, що пов’язують два додатних (від’ємні) числові вирази і вирази, які є обернені до них, є оберненими між собою, зокрема

4. Вирази зі змінними (числові форми)

Як відомо, одна з відмінностей між математичною і природною мовами полягає у вживанні в математичній мові змінних. У природній мові деякі слова також можуть вживатися як змінні. Наприклад, у реченні "тигр має красиву ходу" слово "тигр" є змінною; у реченні ж "цей тигр має красиву ходу" слово "тигр" уже не є змінною. Між словами-змінними в природній мові і змінними в математиці існує істотна різниця: слово можна вживати як змінну для елементів тільки певної множини, а в математиці – для елементів будь-яких множин.

Широке застосування різного роду змінних дає змогу виразити математичною мовою загальні закономірності.

Під змінними розуміють знаки, що відіграють роль порожніх місць у математичному тексті, які дозволяється заповнювати іменами елементів із деяких множин, що становлять область значень цих змінних.

У початковому курсі математики, перш ніж вводити букви для позначення змінних, використовують "порожні місця", наприклад, 4 + ... = 9 (учням становлять запитання: яке число потрібно записати замість крапок, щоб одержати правильну рівність?), або місця, на які підставляється одне і те ж число, позначаються "порожніми віконечками" однакової форми, наприклад,

+= + –

запис комутативного (переставного) закону додавання мовою з порожніми віконечками. Перехід від запису

+= +

до запису х + у = у + х вже не становить труднощів і підказує роль букв-змінних х і у в останньому. Від запису х+у=у + х, де х і у – змінні для натуральних чисел, а "+" є знаком операції додавання, можна перейти до більш загального запису:

(1)

де х і у – змінні для елементів певної множини М, а * – змінна для операції у множині М. Запис (1) є символічним записом комутативного закону бінарної операції. Зокрема, якщо:

1) М – числова множина, то х і у будуть числовими змінними;

2) М – множина висловлень, то х і у – пропозиційні змінні.

Елементи, які можна підставляти замість змінної, називаються її значеннями, а всі вони становлять область визначення змінної. В усіх випадках, коли йдеться про змінну, область визначення змінної обов’язково вказується, або її легко встановити з контексту. Змінні, значеннями яких є числа, називаються числовими змінними.

Якщо в числовому виразі одне або кілька чисел замінити змінними, то одержимо вираз із змінними, або числову форму.

Кожна числова форма задає певне відображення. Наприклад, числова форма 3х + 2, де , визначає відображення множини А на множину значень числової форми f(А) = {5,8,11,14}

F : A ® ¦(A).

Зважаючи на те, що область визначення числової форми 3х + 2 є скінченною множиною, відображення можна задати і таблицею

Оскільки числова форма 3х + 2 задає відображення ¦, її можна позначити ¦(х) і записати ¦(х) = 3х + 2.

Таким чином, символ ¦(х) застосовується для позначення числової форми, що містить змінну х і задає відображення ¦ певної множини А на множину ¦(A). Записи ¦(1), ¦(2) і т. д. означають значення образів відповідно чисел 1, 2 і т. д. при відображенні.

Числова форма з двома змінними х і у, де х Î А, у є В, також задає певне відображення ¦, що ставить у відповідність кожній парі (х, у) Î А х В певне число – значення числової форми ¦ при даній парі значень змінних, і т.д. Отже, числові форми прийнято позначати ¦(х), g(x,y), j(x,y,z), ¦ (х₁, х₂,..., х_n).

Підставивши в числову форму замість кожної змінної на всіх місцях її входження конкретні числа, одержимо числовий вираз, значення якого називається значенням числової форми на заданому наборі значень змінних. Тут і далі, говорячи про "змінну", мають на увазі "числову змінну".

Кожна числова форма характеризується кількістю числових змінних, що входять у неї, і областю визначення. Областю визначення числової форми ¦(x_l, x₂, ..., x_n) (позначається D¦ або D¦(x₁, x₂, ..., x_n)) називається множина тих наборів значень змінних, при яких числова форма має значення. Числова форма вважається заданою, якщо вказано її область визначення. Якщо ж область визначення числової форми не вказано, то її слід установити.

Числові вирази і числові форми часто називають виразами. Якщо вони містять лише арифметичні операції та операції піднесення до раціонального степеня, то їх прийнято називати алгебраїчними.

Алгебраїчний вираз називається раціональним, якщо він не містить операції добування коренів із виразів, що містять змінні. Раціональний вираз називається цілим раціональним виразом, або многочленом, якщо він не містить операції ділення на вирази, що містять змінні. Раціональний вираз називається дробовим, якщо він містить операції ділення на вирази, що містять змінні.

Задача 3. Встановити область визначення виразу

Даний вираз містить операцію ділення на вираз х² – 5х + 6, що містить змінну. Область визначення виразу ¦(х) становлять ті дійсні числа, при яких вираз х² – 5х + 6 не дорівнює нулю. Такими числами є всі дійсні числа, крім х = 2 або х = 3. Отже, областю визначення виразу

буде множина

Відповідь: х Î R {2; 3}, або

Два вирази зі спільною областю визначення називаються тотожно рівними на ній, якщо рівні їх значення при будь-яких значеннях змінних із області визначення. Тотожна рівність виразів істотно залежить від їх області визначення: зміна області визначення може привести до порушення тотожної рівності. Наприклад, вирази х і |х| є тотожно рівними на множині невід’ємних дійсних чисел і не є тотожно рівними на множині дійсних чисел, бо при х = –2 –2 ¹ 2.

Можна, де це потрібно, вважати, що вирази містять однакову кількість змінних, бо при додаванні до виразу членів із коефіцієнтами, рівними нулю, одержуємо тотожно рівний йому вираз.

Відношення тотожної рівності виразів є відношенням еквівалентності на множині всіх виразів. Це дозволяє вирази з одного класу еквівалентності не відрізняти один від одного, якщо тільки не цікавляться їх структурою.

Два тотожно рівних на множині М вирази f(х₁, х₂, ..., х_n) і q(x₁, x₂, ..., x_n), з’єднані між собою знаком рівності, називаються тотожністю (позначається f(х₁, х₂, ..., х_n) = q(x₁, х₂,..., х_n)).

Прикладами тотожностей є формули скороченого множення; формули, що виражають закони арифметичних операцій тощо.

Заміна одного виразу тотожно рівним йому виразом називається тотожним перетворенням виразу. Тотожними перетвореннями виразів широко користуються, коли не цікавляться їх структурою, зокрема при:

1)спрощенні виразів;

2)наданні виразу спеціального вигляду;

3)розв’язуванні рівнянь і нерівностей;

4)доведенні тотожностей.