Основные свойства операций над множествами
Свойства операций над множествами
Операции над множествами, сформулированные в (1.4) обладают некоторыми свойствами, приведенными в табл. 1. Эти свойства выражаются совокупностью тождеств, справедливых независимо от конкретного содержания входящих в них множеств, являющихся подмножествами некоторого универсума U.
Таблица 1
1а) 
| 1б) 
|
2а) 
| 2б) 
|
3а) 
| 3б) 
|
4а) 
| 4б) 
|
5а) 
| 5б) 
|
6а) 
| 6б) 
|
7а) 
| 7б) 
|
8а) 
| 8б) 
|
9а) 
| 9б) 
|
10а) 
| 10б) 
|
11) 
| |
12) 
| |
13)  - закон двойного отрицания
| |
14) 
| |
15)  
| |
16) 
| |
| 17) (А + В) + С = А + (В + С) | |
| 18) А + Æ = Æ + А | |
19) =Æ
| |
20)  Æ
|
Тождества (1а)-(3а) выражают соответственно коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы для объединения, а тождества (1б)-(3б) - те же законы для пересечения. Соотношения (4а)-(7а) определяют свойства пустого множества Æ и универсума U относительно объединения, а соотношения (4б)-(7б) - относительно пересечения.
Выражения (8а) и (8б), называемые законами идемпотентности, позволяют записывать формулы с множествами без коэффициентов и показателей степени. Зависимости (9а) и (9б) представляют законы поглощения, а (10а) и (10б) - законы де Моргана.
Соотношения (11)-(20) отражают свойства дополнения, разности, дизъюнктивной суммы, включения и равенства.
Первые десять свойств в табл. 1 представлены парами двойственных (дуальных) соотношений, одно из которых получается заменой в другом символов: È на Ç и Ç на È , а также Æ на U и U на Æ. Соответствующие пары символов È, Ç и Æ, U называются двойственными (дуальными) символами.
При замене в любой теореме входящих в нее символов дуальными получим новое предложение, которое также является теоремой (принцип двойственности или дуальности). Тождество (11) не изменяется при замене символов дуальными, поэтому его называют самодвойственным.