Курс лекций

Б.В. Новыш

Система открытого образования

Кафедра информационных технологий управления

Центр информационных технологий

О.Б. Плющ

(для специальностей

«Государственное управление и экономика» и
«Управление информационными ресурсами»)

Минск 2004

Оглавления:

Оглавления: 2

Тема 1. ФУНКЦИИ.. 6

1.1 Основные понятия. 6

1.2 Понятие числовой последовательности. 8

1.3 Сходящиеся последовательности. 9

1.4 Бесконечный предел. 11

1.5 Замечательные пределы. 11

1.6 Принцип сходимости. 14

1.7 Предел функции. Теорема Гейне. 14

1.8 Односторонние пределы. 15

1.9 Пределы на бесконечности. 16

1.10 Бесконечные пределы. 17

1.11 Непрерывность функции. 20

1.12 Непрерывность композиции. 21

1.13 Точки разрыва. 22

Контрольные вопросы к теме. 22

Тема 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. 23

2.1 Определение и смысл производной. 23

2.1.1 Построение касательной к графику функции. 23

2.1.2 Экономический смысл производной. 24

2.1.3 Эластичность функции. 25

2.2 Дифференцируемость функции. 25

2.3 Правила дифференцирования. 25

2.4 Таблица производных. 26

2.5 Производная сложной функции. 27

2.6 Производная обратной функции. 27

2.7 Дифференциал. 28

2.8 Приближенные вычисления. 28

2.9 Свойства дифференцируемых функций. 29

2.10 Правила Лопиталя. 29

2.11 Производные высших порядков. 31

Контрольные вопросы к теме. 31

Тема 3. Исследование функций. 32

3.1 Основные понятия. 32

3.2 Монотонность функции. 32

3.3 Локальный экстремум.. 33

3.4 Исследование стационарных точек. 33

3.5 Глобальный экстремум.. 34

3.6 Выпуклость и перегибы графика функции. 35

3.7 Исследование функции и построение графика. 35

3.8 Интерполяция и аппроксимация функций. 38

3.9 Интерполяционный полином Лагранжа. 40

3.10 Формула Тейлора. 41

3.10.1 Основные разложения. 43

3.11 Понятие об эмпирических формулах. 44

Контрольные вопросы к теме. 45

Тема 4. Пространство . 45

4.1 Точки, расстояние. Множества в . 45

4.2 Последовательности в . Сходимость. 47

4.3 Функции в . Предел. Теорема Гейне. 48

4.4 Непрерывность функции в . 49

4.5 Непрерывность на множестве. 50

4.6 Теоремы о непрерывности. 51

4.7 Дифференцируемость функций в . Частные производные. 52

4.8 Дифференциал функции нескольких переменных. 54

4.9 Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия. 56

4.10 Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций. 56

4.11 Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала. 58

4.12 Формула Тейлора. 60

4.13 Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек. 61

4.14 Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум. 64

4.15 Метод наименьших квадратов. 66

Контрольные вопросы к теме. 68

Тема 5. Неопределенный интеграл. 69

5.1 Понятие неопределенного интеграла. 69

5.2 Свойства неопределенного интеграла. 70

5.3 Замена переменных. 71

5.4 Интегрирование по частям. 72

5.5 Интегрирование рациональных функций. Метод рационализации. 73

5.6 Вычисление . 76

5.7 Вычисление . 76

5.8 Вычисление . 77

5.9 Вычисление . 78

Контрольные вопросы к теме. 78

Тема 6. Определенные интегралы. 80

6.1 Интегральные суммы. 80

6.2 Необходимое и достаточное условие интегрируемости. 83

6.3 Равномерно непрерывные функции. 83

6.4 Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций. 84

6.5 Основные свойства определенного интеграла. 84

6.6 Оценки интегралов. Формулы среднего значения. 85

6.7 Основные правила интегрирования. 86

6.8 Приложения определенного интеграла. 87

6.8.1 Площадь плоской фигуры. 87

6.8.2 Объемы тел вращения. 88

6.9 Несобственные интегралы.. 88

6.9.1 Интегрирование неограниченных функций. 89

6.9.2 Интегрирование по бесконечному промежутку. 89

6.10 Приближенное вычисление определенных интегралов. 90

6.10.1 Формула прямоугольников. 90

6.10.2 Формула трапеций. 91

Контрольные вопросы к теме. 92

Тема 7. Понятие кратного интеграла. 93

7.1 Интегрирование функций многих переменных. 93

7.2 Свойства кратного интеграла. 97

Контрольные вопросы к теме. 98

Тема 8. Ряды.. 99

Основные понятия. 99

Положительные ряды.. 101

Знакочередующиеся ряды.. 104

Абсолютная сходимость. 105

Функциональные ряды.. 105

Степенной ряд. 107

Ряды Фурье. 110

Ряды Фурье четных и нечетных функций. 116

Понятие о рядах Фурье непериодических функций. 118

Контрольные вопросы к теме. 120

Тема 9. Дифференциальные уравнения. 121

9.1 Основные понятия. 121

9.2 Дифференциальные уравнения первого порядка. 123

9.3 Дифференциальные уравнения семейства кривых. 124

9.4 Геометрическое истолкование дифференциального уравнения. 124

9.5 Задача Коши. 125

9.6 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 129

9.7 Однородные дифференциальные уравнения. 131

9.8 Линейные дифференциальные уравнения. 132

9.9 Метод Эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений. 134

9.10 Дифференциальные уравнения второго порядка. 136

9.10.1 Задача Коши. 136

9.10.2 Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка. 137

9.10.3 Случаи понижения порядка. 138

9.10.4 Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка 138

9.10.5 Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 139

9.10.6 Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 142

9.10.7 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка. 144

Контрольные вопросы к теме. 145

Вопросы к экзамену. 146

Литература: 148