Позиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления

Кодирование числовой информации. Системы счисления

«Всё есть число», — говорили древнегреческие философы. Известно множество способов представления чисел. Числа записываются с использо­ванием особых знаковых систем, которые называются систе­мами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами.

Система счисления — это знаковая система, в кото­рой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называе­мых цифрами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: непозиционные и позиционные.

В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа.

Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может слу­жить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе рим­ской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали приме­нять первые буквы соответствующих латинских слов (Cen­tum — сто, Demimille — половина тысячи, Mille— тысяча).

Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, еди­ниц. Например, десятичное число 28 представляется следую­щим образом:

XXVIII =10+10 + 5 + 1 + 1 + 1 (два десятка, пяток, три единицы).

Для записи чисел римляне использовали не только сложе­ние, но и вычитание. При этом применялось следующее пра­вило: каждый меньший знак, поставленный справа от боль­шего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.

Десятичное число 99 имеет следующее представление:

XCIX = -10 + 100 - 1 + 10.

В позиционных системах счисления количественный эк­вивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.

Основанием позиционной системы счисления называется целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основа­ние показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её в младший или старший разряд.

Позиционные системы с произвольным основанием. Воз­можно использование множества позиционных систем счис­ления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием g (g-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степе­ней основания g с коэффициентами, в качестве которых вы­ступают цифры 0, 1, g-1. Для записи дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания.

В развернутой форме число в системе счисления с основа­нием g (g-ичная система счисления) записывается следующим образом:

Ag = an-1*gn-1 + an-2*gn-2+… +a0*g0 + a-1*g-1+…a-m*g-m (2.3)

Здесь:

Ag — число в g-ичной системе счисления,

g — основание системы счисления,

ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной систе­мы счисления,

п — число целых разрядов числа,

т — число дробных разрядов числа.

Десятичная система счисления

Основание: q = 10.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Число в десятичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа. В развернутой форме запись числа А10, которое содержит п целых разрядов числа и т дробных раз­рядов числа, производится следующим образом:

A10 = an-1*10n-1 + an-2*10n-2+… +a0*100 + a-1*10-1+…a-m*10-m (2.4)

Например, десятичное число 555,5510 в развернутой форме будет записываться следующим образом:

555,5510 = 5*102 + 5*101 + 5*10° + 5*10-1 + 5*10-2.

Двоичная система счисления

Основание: g =2. Алфавит: 0, 1.

Число в двоичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 2), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа. В развернутой форме запись числа А2, которое содержит п целых разрядов числа и т дробных разрядов числа, производится следующим образом:

A2 = an-1*2n-1 + an-2*2n-2+… +a0*20 + a-1*2-1+…a-m*2-m (2.5)