Позиционные системы счисления
Непозиционные системы счисления
Кодирование числовой информации. Системы счисления
«Всё есть число», — говорили древнегреческие философы. Известно множество способов представления чисел. Числа записываются с использованием особых знаковых систем, которые называются системами счисления. Алфавит систем счисления состоит из символов, которые называются цифрами.
Система счисления — это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.
Все системы счисления делятся на две большие группы: непозиционные и позиционные.
В непозиционных системах счисления количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа.
Примером непозиционной системы, которая сохранилась до наших дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum — сто, Demimille — половина тысячи, Mille— тысяча).
Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:
XXVIII =10+10 + 5 + 1 + 1 + 1 (два десятка, пяток, три единицы).
Для записи чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.
Десятичное число 99 имеет следующее представление:
XCIX = -10 + 100 - 1 + 10.
В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Позиция цифры в числе называется разрядом. Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.
Основанием позиционной системы счисления называется целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её в младший или старший разряд.
Позиционные системы с произвольным основанием. Возможно использование множества позиционных систем счисления, основание которых равно или больше 2. В системах счисления с основанием g (g-ичная система счисления) числа в развернутой форме записываются в виде суммы ряда степеней основания g с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры 0, 1, g-1. Для записи дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания.
В развернутой форме число в системе счисления с основанием g (g-ичная система счисления) записывается следующим образом:
Ag = an-1*gn-1 + an-2*gn-2+… +a0*g0 + a-1*g-1+…a-m*g-m (2.3)
Здесь:
Ag — число в g-ичной системе счисления,
g — основание системы счисления,
ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
п — число целых разрядов числа,
т — число дробных разрядов числа.
Десятичная система счисления
Основание: q = 10.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Число в десятичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа. В развернутой форме запись числа А10, которое содержит п целых разрядов числа и т дробных разрядов числа, производится следующим образом:
A10 = an-1*10n-1 + an-2*10n-2+… +a0*100 + a-1*10-1+…a-m*10-m (2.4)
Например, десятичное число 555,5510 в развернутой форме будет записываться следующим образом:
555,5510 = 5*102 + 5*101 + 5*10° + 5*10-1 + 5*10-2.
Двоичная система счисления
Основание: g =2. Алфавит: 0, 1.
Число в двоичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 2), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа. В развернутой форме запись числа А2, которое содержит п целых разрядов числа и т дробных разрядов числа, производится следующим образом:
A2 = an-1*2n-1 + an-2*2n-2+… +a0*20 + a-1*2-1+…a-m*2-m (2.5)