Интеграл от единичной функции по области V равен объёму этой области:.

Приложения двойного интеграла.

16.1.7.1. Вычисление площадей плоских областей.В соответствии с свойством 16.1.3.3. Интеграл от единичной функции . Пример: найти площадь области , лежащей внутри кривых .

Решение. Построить эти кривые можно только в полярных координатах; первое уравнение приводится к виду , это - лемниската Бернулли; второе - к виду , это - кардиоида. Решая уравнение , находим, что точка их пересечения лежит на луче . D состоит из двух лунок одинаковой площади; вычислим площадь верхней. При эта лунка ограничена кардиоидой; при - лемнискатой, поэтому

ё

16.1.7.2. Вычисление объёмов. Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями , , , с боков - цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси , равен ; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла. Основной вопрос, который надо решить - на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.

Примеры. 1. Найти объём тела

Решение. Тело изображено на рисунке справа. Перебором возможностей убеждаемся, что проще всего описать это тело, если отправляться от его проекции на ось Oxz: Область D - треугольник, ограниченный прямыми , поэтому

.

2. Найти объём области, ограниченной поверхностями .

Решение. Первая поверхность - сфера, вторая - цилиндрическая - с образующими, параллельными оси Oz (в уравнении нет z в явной форме). Построить в плоскости Oxy кривую шестого порядка, заданную уравнением , в декартовой системе координат невозможно, можно только сказать, что она симметрична относительно осей (чётные степени) и точка О(0,0) принадлежит этой кривой. Пробуем перейти к полярным координатам.

Эту кривую построить уже можно. максимально, когда , минимально, когда

, и гладко меняется между этими пределами (точка О(0,0) не принадлежит этой кривой, где мы её потеряли?).

Пользуясь симметрией, получаем

и т.д.

16.1.7.3. Вычисление площади поверхности. Пусть в пространстве задана кусочно-гладкая поверхность , однозначно проектирующаяся в область D на плоскости Оху. Пусть эта поверхность задаётся уравнением . Тогда площадь этой поверхности выражается формулой

.

Мы докажем эту формулу позже, когда будем изучать поверхностные интегралы. Сейчас рассмотрим пример: найти площадь лепестков, вырезаемых цилиндром из сферы .

Решение. На рисунке изображён верхний из этих лепестков. Уравнение поверхности вычисляем производные и . Область D - сдвинутый на а единиц по оси Ох круг, поэтому вычисляем в полярных координатах, учитывая симметрию поверхности относительно плоскостей Оху и Охz: .

16.1.7.4. Механические приложения двойного интеграла должны решит.Будем считать, что D - неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке Р равной . В механике определяется так. Точка Р окружается малой областью S, находится масса и площадь этой области (площадь тоже будем обозначать буквой S), и . Для нахождения массы по заданной плотности мы ь обратную задачу. Разобьём D на малые подобласти , в каждой из подобластей выберем произвольную точку , и, считая что в пределах плотность постоянна и равна , получим, что масса приближённо есть , а масса всей пластины . Это - интегральная сумма, при уменьшении точность приближения увеличивается, и в пределе .

Аналогично находятся другие параметры пластины:

координаты центра тяжести , ;

моменты инерции (относительно оси Ox), (относительно оси Oy), (относительно начала координат).

Пример: найти параметры неоднородной плоской пластины, ограниченной кривыми если плотность .

Решение.

(что и следовало ожидать, так как область и плотность симметричны относительно оси Оу).

.

. .

16.2. Тройной интеграл.

16.2.1. Определение тройного интеграла. Теорема существования тройного интеграла.Пусть в пространстве Oxyz задана ограниченная замкнутая область (объём) V, и пусть на области V определена функция .

Разобьём область V произвольным образом на подобластей (не имеющих общих внутренних точек). Символом будем обозначать объём области ; символом обозначим наибольший из диаметров областей : .

В каждой из подобластей выберем произвольную точку , вычислим в этой точке значение функции , и составим интегральную сумму .

Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения области V на подобласти , ни от выбора точек , то функция называется интегрируемой по области V, а значение этого предела называется тройным интегралом от функции по области V и обозначается .

Если расписать значение через координаты точки , и представить как , получим другое обозначение тройного интеграла: . Итак, кратко, .

Теорема существования тройного интеграла.Если подынтегральная функция непрерывна на области V, то она интегрируема по этой области.

16.2.2. Свойства тройного интегралапо смыслу и доказательству полностью аналогичны свойствам определённого и двойного интегралов.

16.2.2.1. Линейность. Если функции , интегрируемы по области V, то их линейная комбинация тоже интегрируема по , и .

16.2.2.2. Аддитивность. Если область является объединением двух областей и , не имеющих общих внутренних точек, то .

16.2.2.4 Интегрирование неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции интегрируемы по области V, то .