Двойное векторное произведение
Определение. Двойным векторным произведением называется произведение или
.
Теорема. Для любых векторов справедливы равенства:
, (1)
.
►Докажем, например, (1). Пусть заданы три произвольных вектора . Построим правый ортонормированный базис следующим образом: в качестве вектора
возьмём единичный вектор, коллинеарный
, вектор
выберем перпендикулярным вектору
и так, чтобы
были компланарными, и положим
. В этом базисе
. Тогда
;
; (2)
. (3)
Сравнивая (2) и (3), получаем (1).
Ещё раз подчеркнём, что исходные векторы выбираются произвольным образом, а ортонормированный базис уже подбирается для них. ◄