Определение

Дифференцируемость функции в точке.

;

(– дифференцируемая в точке ) ,

т.е. приращение функции в точке представимо в виде суммы
линейной функции от (главная часть приращения функции) и некоторой функции бесконечно малой при большего порядка по сравнению с .

Пример. Показать по определению дифференцируемость функции в произвольной точке .

Решение. Пусть – произвольное. Тогда

,

т.е. – дифференцируемая в точке .

Теорема (о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции в точке)

;

(– дифференцируемая в точке )

.

Доказательство. ()По определению дифференцируемости функции в точке имеем ; отсюда
при получаем . Поскольку , то, применив теорему о пределе суммы, устанавливаем существование .

Итак, для дифференцируемой в точке функции ее приращение представимо в виде

.

() Если существует , то существует , т.е. – бесконечно малая функция при . Отсюда и здесь , при , т.е. .

Полученное представление для доказывает дифференцируемость функции по определению.

Замечание. Выражение называется дифференциалом(первого порядка) функции в точке соответственно
и обозначается

или .

Для дифференцируемой в точке функции справедливо
приближенное равенство , где – погрешность приближения или

.

Оно может использоваться для приближенного вычисления значения функции в точке , расположенной "достаточно близко" к
точке .

Пример. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим , , . Тогда . Итак, с погрешностью .

Геометрическая иллюстрация приближенного равенства: для , "близких" к , график функции может быть приближенно заменен отрезком касательной , тем самым решается задача локальной лианеризации функций.

Теорема (о связи понятий)

;

(– дифференцируемая в точке )

(– непрерывна в точке ).

Доказательство рекомендуем провести самостоятельно.

Контрпример. , .

Функция всюду непрерывная, т.е. при непрерывна. Рассмотрим и при
предел этого отношения не существует, т.е. при функция не дифференцируема.

Процесс вычисления производной функции называют дифференцированием функции.

Техника дифференцирования отрабатывается на основе правил дифференцирования и формул производных конкретных функций. Обозначения производной функции : ; . Если – произвольная точка интервала , то – функция аргумента , .