Ускорение газового потока. Сверхзвуковое сопло Лаваля.

В сверхзвуковом сопле, газовый поток преобразуется таким образом, что скорость истечения становится больше скорости звука:

, .

Рассмотрим случай одномерного течения газа по сверхзвуковому соплу. Уравнение неразрывности дает

.

Газ движется по соплу с ускорением, поэтому при малой скорости, когда плотность газа можно считать неизменной, необходимо уменьшать сечения. Этим обусловлено сужение начальной части сопла. При дальнейшем расширении газа увеличение скорости сопровождается уменьшением давления и, плотности газа, что частично компенсирует рост скорости, и поэтому сужать сечение канала нужно уже не так быстро. Наконец, процесс проходит через такую стадию, когда плотность расширяющегося газа уменьшается обратно пропорционально скорости. В этом сечении канала скорость потока равна скорости звука. Дальнейшее увеличение скорости сопровождается еще более быстрым падением плотности, вследствие чего, сечение сопла должно увеличиваться. Таким образом, сверхзвуковое сопло, предназначаемое для получения сверхзвукового потока, должно состоять из сужающейся (дозвуковой) и расширяющейся (сверхзвуковой) частей. В самом узком сечении сверхзвукового сопла (критическом сечении) скорость потока равна звуковой. Рассмотрим совместно уравнения неразрывности и Бернулли (без трения) в дифференциальной форме:

Разделим второе уравнение на и умножим и разделим первый его член на . Тогда получим

При имеем

Преобразуя, получим

Можно заметить, что при расширении (ускорении) газа, когда , сечение сопла должно изменяться так, как указывалось выше, а именно:

если , то (сужение)

если , то (кризис)

если , то (расширение)

Таким образом, наблюдаются три режима: дозвуковой, критический, сверхзвуковой. Около критического сечения поток очень чувствителен к изменению поперечного сечения канала. Например, для изменения числа М на 10% (от М = 0,9 до М = 1) достаточно изменить площадь сечения на 1%, а для перехода от М = 0,95 к М = 1 — на 0,25%. По этой причине нельзя поддержать критический режим на достаточно протяженном участке прямой трубы (пограничный слой, образующийся за счет торможения газа у стенок, как бы сужает сечение струи). Плотность, с ростом скорости уменьшается. В критическом сечении сопла dF/F=0, это значит, что площадь поперечного сечения проходит через экстремум (минимум). Из соотношения (1) следует, что именно в узком сечении сопла Лаваля получается скорость потока, равная местной скорости звука.

Рассмотрим зависимость скорости от площади поперечного сечения сопла. Для этого, пользуясь уравнением неразрывности, свяжем произвольное сечение сверхзвукового сопла с его минимальным сечением:

отсюда

Однако и , поэтому

Но, поскольку, при идеальном процессе

,

следовательно,

, где

Отсюда следует

Для воздуха k = 1,4, поэтому имеем

Видно, что безразмерное значение площади сечения сопла является функцией только числа М. Все приведенные выражения справедливы при отсутствии тепловых и гидравлических потерь, т.е. при изменении состояния газа по идеальной адиабате. Каждому значению числа М соответствует определенная величина отношения. Следовательно, выбрав произвольное сечение, мы получим в этом сечении определенное значение числа М, которому соответствуют определенные значения температуры, давления и плотности газа (с точностью до влияния пограничного слоя).

Величина скорости в данном сечении сверхзвукового сопла зависит только от температуры торможения . Изменение полного давления на скорость не влияет, так как пропорционально ему изменяется и местное давление Р, а их отношение остается неизменным, также остается неизменным и отношение температур

Для достижения требуемого числа М на срезе сопла давление в камере должно в известное число раз превосходить давление окружающей среды.

Давление на срезе данного сверхзвукового сопла не связано с давлением атмосферы, а зависит только от давления в камере и формы сопла. Лишь в случае так называемого расчетного режима давление на срезе сопла равно атмосферному давлению . На нерасчетных режимах, когда давление на срезе больше или меньше атмосферного, должно происходить изменение давления в струе вне сопла. Расчетные формулы упрощаются, если параметры состояния газа определяются в функции не от числа М, а от приведенной скорости. Удобство оперирования приведенной скоростью связано с тем, что ее знаменатель (критическая скорость) зависит только от температуры торможения, которая постоянна для любого участка потока с изолированным процессом.

Выведем формулу для расчета секундного расхода газа в сверхзвуковом сопле. Удобно находить расход газа по критическому сечению сопла:

состояние газа в критическом сечении:

В частности, для воздуха (k = 1,4) имеет место

Заменяя с помощью соотношений (6) критические значения плотности и скорости звука в выражении (5) значениями, соответствующими состоянию торможения, т.е. состоянию в камере перед соплом, получим

или, используя уравнение состояния:

Расход газа через сверхзвуковое сопло зависит только от состояния газа в камере перед соплом. Для воздуха (k=1,4, R=287,3) имеем:

По формулам (8) определяют размер критического сечения сверхзвукового сопла для заданного расхода и известного состояния газа перед соплом.