Интегрирование по частям в определенном интеграле

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема 3.Пусть дан интеграл , где f (x) – непрерывная функция на [a, b]. Введем новую переменную t, связанную со старой переменной соотношением x = j (t). Если выполняются условия:

1) j (a) = а , j (b) = b,

2) j (t) и j¢ (t) непрерывны на [a, b],

3) f [j (t)] определена и непрерывна на [a, b],

то .

Пусть u и v – дифференцируемые функции от x. Тогда

(uv)¢ = u¢v + uv¢

Интегрируя обе части тождества, получим: .

Т.к. , то ;

следовательно, , или окончательно .

2.4 Лекция 8. Двойные интегралы

Содержание лекции: Двойной интеграл и его свойства. Вычисление двойных интегралов в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле.

Цели лекции: знакомство с двойным интегралом, его свойствами и техникой вычисления.

Рассмотрим в плоскости Oxy замкнутую область D , ограниченную линией L.

Пусть в области D задана непрерывная функция z = f (x, y).

Разобьем область D произвольным образом на п частей:

D s1 , D s2 , D s3 , …, D sп .

Каждую часть (площадку) отождествим с ее площадью.

Выберем в каждой площадке произвольную точку Рi Î D si (), и сопоставим ей значение f (Pi). Составим сумму: .

Эта сумма называется интегральной суммойдля функции f (x, y) в области D.

Если f ³ 0 в области D , то геометрически каждое слагаемое f (Pi) D si можно представить как объем малого цилиндра, высота которого есть f (Pi), а основание D si.

Таким образом, Vn – объем «ступенчатого» тела. Предположим, что diam Dsi ® 0 при n ® ¥. Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 1.Если функция f (x, y) непрерывна в замкнутой области D , то .

Этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на Dsi , ни от выбора точки Рi Î D si.

Этот предел называется двойным интегралом от функции f (x, y) в области D и обозначается: или .

Таким образом, ,

где D – область интегрирования.

Геометрический смысл двойного интеграла (в случае f (x, y) ³ 0):двойной интеграл равен объему тела V, ограниченного поверхностью z = f (x, y), плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Оz и направляющей L .

Свойства двойного интеграла:

1) ;

2) , С = const;

3) Если D разбита на D1 и D2 без общих внутренних точек, то

.