Тройной интеграл
Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый «тройной интеграл». Теория тройного интеграла аналогична теории двойного.
Понятие тройного интеграла связано с задачей о массе неоднородного тела. Если тело однородно, т.е. в каждой точке плотность одна и та же, то масса М тела находится по формуле 
. Определим массу неоднородного тела V, с переменной плотностью ρ=f(x,y,z).
|
. Рассмотрим элементарную область 
(рис. 12). Так как можно считать параллелепипедом со сторонами 
, то объем элементарной области будет равен 
.
Выберем произвольную точку 
в каждой элементарной области. В силу того, что область очень мала, считаем плотность постоянной и равной значению функции ρ=f(x,y,z) в точке , т.е. 
. Тогда масса элементарной области находится по формуле 
. Масса всего тела будет складываться из масс элементарных областей, т.е. 
.
Будем неограниченно увеличивать n (
), получим 
.
Если этот предел существует, то он называется тройным интегралом и обозначается
(
-элемент объема).
Теорема. Если функция f(x,y,z) непрерывна в ограниченной замкнутой области V , то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них.
Физический смысл тройного интеграла:
Если функция f(x,y,z) непрерывна и показывает плотность распределения вещества в замкнутой области V, то масса всего вещества, заключенного в области, вычисляется с помощью тройного интеграла
.