Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, т.е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Введём новые переменные , пусть и , функции φ и ψ имеют в некоторой области плоскости Оuv непрерывные частные производные.

Функциональный определитель

- называется определителем Якоби или якобианом.

Если функция непрерывна в области D, а якобиан , то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле

Рассмотрим частный случай: замену декартовых координат х и уполярными координатами r и φ. Прямоугольные и полярные координаты связаны формулами

В качестве u и v возьмём полярные координаты r и φ. Составим Якобиан преобразования u=r, v=φ.

Формула замены переменных x, y в полярных координатах будет иметь вид

- область в полярной системе координат, соответствует области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют тоже правило сведения его к двукратному интегралу

Рис. 9

Если область

(рис.9) ограниченна лучами φ=α и φ=β , где α<β и кривыми

, где

, для любого

, т.е. область

-правильная: то двойной интеграл в полярной системе координат вычисляется по следующей формуле

Внутренний интеграл берётся при условии, что φ - константа.

Замечание:

1) переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид ; область D - есть круг, кольцо или часть таковых;

2) на практике переход к полярным координатам осуществляется путём замены . Уравнения линий, ограничивающих область D, так же преобразуются к полярным координатам.