Двойной интеграл. Основные понятия. Геометрический смысл

КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

 

Тема 1. Кратные интегралы.

Задача, приводящая к понятию двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной и полярной системах координат. Геометрические и физические приложения двойного интеграла. Тройной интеграл. Способы вычисления тройного интеграла. Приложение тройного интеграла.

Тема 2. Криволинейные интегралы.

Понятие криволинейного интеграла II рода. Способы вычисления криволинейного интеграла. Формула Остроградского-Грина. Приложения криволинейных интегралов.

Тема 3. Элементы теории поля.

Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Векторное поле. Поток, дивергенция, циркуляция, ротор векторного поля. Специальные виды векторных полей.

Тема 4. Числовые и степенные ряды.

Основные понятия числовых рядов. Признаки сходимости числовых рядов. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость знакопеременных рядов. Степенные ряды. Интервал сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Приложения степенных рядов.

Тема 5. Ряды Фурье.

Периодические функции и периодические процессы. Ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Представление непериодической функции рядом Фурье.

Тема 6. Элементы операционного исчисления.

Определение функции оригинала и функции изображения. Свойства преобразований Лапласа. Таблица оригиналов и изображений. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем.

 

Пусть в области D плоскости Oxy задана непрерывная положительная функция z=f(x, y).

Определение: Часть пространства, ограниченную снизу плоскостью Oxy, сверху поверхностью z=f(x,y)и с боков цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, направляющей служит контур области D , называется цилиндрическим телом. Плоскую область Dназывают основанием этого цилиндрического тела.

Рис. 1
Рассмотрим геометрическую задачу: вычислить объём V цилиндрического тела, ограниченного снизу основанием D , а сверху поверхностью z=f(x,y),где f(x,y)>0 (рис.1).

Рис. 2
Решение: Известно, что объём цилиндра, ограниченного параллельными плоскостями, равен площади основания цилиндра умноженного на его высоту. В общем случае, когда цилиндр ограничен сверху произвольной поверхностью z=f(x,y), поступим следующим образом. Разобьём область D(проекция поверхности z=f(x,y) на плоскость Оxy) произвольным образом на nчастей (областей) Di ,площади которых равны (рис.2). Рассмотрим цилиндрические столбики с основанием Di, ограниченные сверху кусками поверхности z=f(x,y). В своей совокупности они составляют тело V. , - объем столбика с основанием Di,.

Возьмём на каждой площадке произвольную точку Mi(xi,yi)и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Di,и высотой zi=f(xi,yi) (рис. 3). Найдем объем каждого цилиндрического столбика: .

Т.о. построим цилиндрическое ступенчатое тело, объём которого можно считать приближенным значением искомого объема. . Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры области Di,.

Рис. 3
Начнем неограниченно увеличивать число площадок . Диаметр (наибольшее расстояния между точками принадлежащими области D) будет стремиться к нулю , то есть каждая площадка будет стягиваться в точку. При этом ступенчатое тело будет всё плотнее заполнять данное цилиндрическое тело, а объём Vnбудет изменяться, стремясь к некоторому пределу. Естественно принять за величину объема V данного цилиндрического тела тот предел, к которому стремится Vn при , то есть .

Отвлекаясь от геометрического смысла полученного предела, его называют двойным интегралом от функции z=f(x,y)по области Dи обозначают .

Итак, двойной интеграл определяется равенством

.

Величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объёму цилиндрического тела - геометрический смысл двойного интеграла.

Функцию z=f(x,y)называют подынтегральной функцией, D-область интегрирования, dxdy (или ds) - элемент площади.

Существует теорема, согласно которой для любой функции f(x,y) непрерывной в области D, существует двойной интеграл, величина которого не зависит ни от способа разбиения области Dна части, ни от выбора точки Mi(xi,yi)в каждой из частей.

Сравнивая определения двойного интеграла для функции двух переменных с определением определённого интеграла для функций одной переменной, нетрудно убедится в полной их аналогичности. Аналогичны и свойства этих интегралов.