Критерий устойчивости Михайлова
Дата добавления: 2014-01-11; просмотров: 7; лекция была полезна: 0 студентам(у); не полезна: 0 студентам(у).
Опубликованный материал нарушает авторские права? сообщите нам...
Для анализа устойчивости рассматривается знаменатель схемной функции B(jω), который получается из полинома (19) заменой p на jω:
(6.2)
где можно выделить вещественную и мнимую часть, а также амплитуду и фазу:
Для конкретного численного значения ω = ωi имеем комплексное число B(jωi), которое можно изобразить на плоскости в виде вектора, соединяющего начало координат с точкой (Re B(ωi); j Im B(ωi)). При изменении ω от 0 до ∞ конец вектора B(jω) выписывает на комплексной плоскости некоторую кривую, которую называют годографом Михайлова. При этом годограф начинается, как следует из выражения (6.2), в точке с координатами (b0; j0).
Критерий устойчивости Михайлова формулируется следующим образом: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении ω от 0 до ∞ начинался на положительном конце вещественной оси в точке b0 и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не обращаясь в ноль и стремясь к ∞ в n-ом квадранте.
В устойчивой системе каждый из n корней даст приращение фазы φi = + π/2, а общий угол поворота B(jω) равен + (π/2)n. Вид годографа Михайлова для устойчивой и неустойчивых схем третьего порядка (т.е. у которых знаменатель схемной функции B(p) является полином 3-ей степени) приведен на рис. 6.1.
Рис. 6.1. Примеры годографа Михайлова для устойчивой (а) и неустойчивых (б) систем третьего порядка (n = 3)
Оценим устойчивость схемы на рис. 5.1 по критерию Михайлова. Полином знаменателя схемной функции имеет вид
B(p) = pCg3 + g2g3.
Заменив p на jω, получим выражение для годографа Михайлова
B(jω) = jωCg3 + g2g3,
в котором Re B(ω) = g2g3 = 1·10-7 См2; Im B(ω) = ωCg3 = 1·10-10 Ф·См.
Для построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой частей при конкретных значениях частоты и занесем их в таблицу.
Таблица. Координаты точек для построения годографа Михайлова
| ω | ∞ | ||||
| Re B(ω) | 1·10-7 | 1·10-7 | 1·10-7 | 1·10-7 | 1·10-7 |
| Im B(ω) | 1·10-10 | 1·10-9 | 1·10-8 | ∞ |
Вид годографа Михайлова для схемы на рис. 5.1 представлен на рис. 6.2.
| Рис. 6.2. Годограф Михайлова для схемы на рис. 5.1 | 
|
Поскольку годограф начинается на положительном конце реальной оси, попадает в первый квадрант и стремится к ∞ в первом квадранте (у нас n = 1), схема является устойчивой. Данный вывод совпадает с результатами анализа схемы по критерию устойчивости Гурвица.