Геометрический смысл двойного интеграла

Дата добавления: 2014-01-11; просмотров: 5; лекция была полезна: 0 студентам(у); не полезна: 0 студентам(у).
Опубликованный материал нарушает авторские права? сообщите нам...

Пусть требуется найти объем криволинейного цилиндра – тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу некоторой замкнутой областью D, лежащей в плоскости Оxy, а по бокам образующими прямыми линиями, параллельными оси и проходящими через граничные точки области D (рис. 76). Разобьем область D на n элементарных областей с помощью произвольно выбранных прямых, параллельных осям Оx и Оy. Через эти прямые проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям Оxz и Оyz. С помощью этих плоскостей криволинейный цилиндр будет разбит на n элементарных цилиндров с основаниями . В каждой области выберем произвольную точку и вычислим значение функции . Найдем приближенно объем каждого элементарного цилиндра

,

где - площадь элементарной области .

Рис. 76

Найдем приближенно объем всего криволинейного цилиндра

.

Для нахождения точного значения объема криволинейного цилиндра перейдем к пределу при неограниченном возрастании числа n элементарных областей и при стремлении к нулю наибольшей площади элементарных областей , т.е. . Найдем

.