Шершнев В. Г.

Часть 2. Интегральное исчисление

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

В. Г. ШЕРШНЕВ

Часть I. Дифференциальное исчисление

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

ШЕРШНЕВ Владимир Григорьевич

Курс лекций

Печатается в авторской редакции

Подписано в печать 31.05.09. Формат 60´84 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 6,875. Тираж 500 экз.

117997, Москва, Стремянный пер. 36.

Напечатано в ГОУ ВПО «РЭА им. Г. В. Плеханова»

Курс лекций

Москва

ГОУ ВПО «РЭА им. Г. В. Плеханова»

УДК 512

ББК

Ш Математический анализ. Часть 2. Интегральное исчисление.

Курс лекций для дистанционной формы обучения. – М.: ГОУ ВПО

«РЭА им. Г.В. Плеханова», 2009 г. - 136 с.

Данное пособие составлено на основе лекций, читаемых автором на экономических факультетах РЭА им. Г. В. Плеханова. Содержит теоретический материал по разделам математического анализа: неопределенный и определенный интегралы, дифференциальные уравнения и ряды. Приводится решение характерных заданий. Пособие соответствует программе по математическому анализу для студентов экономических специальностей.

УДК 512

ББК

Оглавление

Календарно-тематический план . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 4. Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.Определение неопределенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Свойства неопределенного интеграла.Таблица интегралов . . . . . . . .
4.3. Методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1. Метод непосредственного интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2. Метод замены переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен . . .
4.3.4. Метод интегрирования по частям неопределенных интегралов . .
4.3.5. Интегрирование дробно-рациональных функций . . . . . . . . . . . . . .
4.3.6. Об интегрировании простых дробей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.7. Интегрирование иррациональных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.8. Интегрирование тригонометрических функций. . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.9. Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Об интегрировании в конечном виде. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 5. Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. . . . . . . . .
5.2. Интегральные суммы, их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Взаимосвязь определенного и неопределенного интегралов. Формула Ньютона – Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Методы интегрирования определенных интегралов . . . . . . . . . . . . .
5.6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Теоремы о сходимости несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8. Несобственные интегралы от разрывных функций, неограниченных в точках разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9. Теоремы о сходимости несобственных интегралов от разрывных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10. Геометрические приложения определенных интегралов . . . . . . . . .
5.10.1. Вычисление площадей фигур. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.2. Вычисление объемов тел вращения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.10.3. Длина дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11. Численные методы нахождения определенных интегралов . . . . . .
5.11.1. Формулы прямоугольников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11.2. Формула трапеций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.11.3. Формула Симпсона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.12. Производная интеграла, зависящего от параметра. . . . . . . . . . . . . . .
Глава 6. Двойные интегралы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1. Определение двойного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Геометрический смысл двойного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Свойства двойных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4. Вычисление двойных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. Двойные несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 7. Дифференциальные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1. Общие понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. Дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. Задача Коши. Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными . .
7.5. Однородные дифференциальные уравнения (дифференциальные уравнения с однородными функциями) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . . . .
7.7. Уравнение Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8. Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9. Дифференциальные уравнения высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . .
7. 10. Дифференциальное уравнение вида . . . . . . . . . . . . . . .
7.11. Дифференциальные уравнения второго порядка, приводимые к дифференциальным уравнениям первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.12. Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Свойства их решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.13. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского . . . . . . .
7.14. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.15. Комплексные числа и действия над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.16. Показательная функция с комплексным показателем . . . . . . . . . . . .
7.17. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера . . . . .
7.18. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. . . . . . . . . . . . .
7.19. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами . . . . . . . . . . . . .
7.20. Метод Эйлера численного интегрирования дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 8. Числовые ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1. 1. Определение числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2. Сходимость числового ряда. Сумма ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3. Свойства сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2. Необходимый признак сходимости числового ряда . . . . . . . . . . . . . .
8.3. Классификация числовых рядов в зависимости от знаков их членов
8.4. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1. Признаки сравнения рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2. Признак Даламбера сходимости знакоположительных рядов . . . .
8.4.3. Радикальный признак Коши сходимости числового ряда . . . . . . .
8.4.4. Интегральный признак Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6. Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимости числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 9. Степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1. Функциональные ряды. Общие понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2. Равномерная сходимость функциональных рядов. Теорема Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3. Теорема Абеля о виде области сходимости степенного ряда . . . . . . .
9.4. Радиус и область сходимости степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5. Ряды Тейлора и Маклорена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6. Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций . . .
9.7. Применение рядов для приближенных вычислений . . . . . . . . . . . . . .
Вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5rik.ru

Материалы для учебы и работы

Шершнев В. Г.