Поверхностные интегралы по площади поверхности (ПВИ-1)

Лекция№9

Понятие поверхностный интеграл явл. Обобщением двойной интеграл на случай, когда обл. интегрирования не часть плоскости, а часть некоторой криволинейной поверхности в пространстве.

9.1. Основные понятия, теорема существования.

Пусть т. Некоторой поверхности S заданной координатами z=f(x,y) определена некоторая ф-я U=F(x,y.z).

Выполним теже действия, что и при определении ДВИ.

1) разобьем на n частей σi(i=) с площадями Δσi и диаметрами λi, тогда λ=max{λi}- диаметр разбиения поверхности S на части.

2) σi выберем произвольную точку Mi(Xi,Yi,Zi) и составим сумму

Δσi=*Δσi (1)

Сумма (1) называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S.

Опред.1 Если сущ. Конечный предел интегральной суммы (1), при n(λ), то он называется поверхностным интегралом по площади поверхности или поверхностным интегралом II ряда от функции F(x,y,z) по поверхности S и обозначается

, т.о.

(2), где

^{- символ ПВИ-1,}

^{- площадь интегрирования,}

^{F(x,y,z)- интегральная} функция,

Dδ-элемент площади поверхности.

Теорема 9.1 (о существовании ПВИ-1).

Если F(x,y,z) непрерывна на поверхности S, задаваемой z=f(x,y), а f(x,y) вместе со своими частными производными f’(x) и f’(y) обл. S_xy-проэкции поверхности S на плоскость xOy, то сущ. Конечный предел интегральной суммы (1) (т.е. ПВИ-1) и он не зависит ни от способа разбиения поверхности S на части, ни от выбора точки на них для составления интегральной суммы.

Аналогично можно определить ПВИ-1, если поверхность S опред. Уравнением y=φ(x,z) или x=ψ(y,z), а S_xz и S_yz- проекции поверхности S на плоскости xOz и yOz.