Знакочередующиеся ряды

Определение. Числовой ряд, у которого два соседних члена имеют противоположные знаки, называется знакочередующимся рядом.

Такой ряд можно представить в виде

(1)

Для знакочередующихся рядов имеется достаточный признак, часто используемый на практике

Теорема.(Признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел общего члена равен нулю, то ряд (1) сходится.

Доказательство. Из условия теоремы следует

(2)

(3)

Рассмотрим подпоследовательность частичных сумм с четным числом слагаемых

Представим эту сумму в виде

. (4)

(Эта частичная сумма содержит конечное число слагаемых и, следовательно, можно группировать члены). В выражении (4) каждая скобка неотрицательная (в силу условий (2)), поэтому последовательность частичных сумм с четными номерами – неубывающая.

Эту же подпоследовательность можно представить по-другому.

Из последнего выражения следует, что

Мы получили, что неубывающая подпоследовательность ограничена сверху, следовательно, она имеет предел. Введем обозначение

. (5)

Теперь рассмотрим подпоследовательность частичных сумм ряда (1) с нечетным числом слагаемых

Тогда

. (6)

Мы получили, что две подпоследовательности (с четным и нечетным числом слагаемых) последовательности частичных сумм ряда (1) сходятся к одному числу S, следовательно, , что означает, что ряд сходится.

Следствие 1. Если знакочередующийся ряд (1) удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то сумма этого ряда удовлетворяет условиям:

В процессе доказательства теоремы Лейбница были получены оценки

Перейдем в этом двойном неравенстве к пределу, с учетом соотношения (5), получим

что и требовалось доказать.

Следствие 2.Если знакочередующийся ряд (1) удовлетворяет условиям теоремы Лейбница, то абсолютная величина суммы любого остатка не превосходит первого отброшенного члена, т.е.

(7)