Условия существования двойного интеграла и его свойства

Очевидно, что интегрируемая в области s функция должна быть ограничена в замкнутой области s, т.к. в противном случае за счет выбора точек P_i интегральную сумму можно было бы сделать сколь угодно большой по абсолютной величине, и это противоречит определению.

Приведем без доказательства достаточные условия существования двойного интеграла.

Теорема 1. Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области s, то двойной интеграл существует.

Теорема 2. Если функция f(x,y) ограничена в замкнутой области s и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно-гладких линий, то двойной интеграл существует.

Пусть m_i и М_i наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y) на Ds_i. Сформулируем критерий существования двойного интеграла:

Теорема 3. Для существования двойного интеграла необходимо и достаточно, чтобы

.

Приведем свойства двойного интеграла.

1. Двойной интеграл не зависит от обозначения переменных интегрирования.

2. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за знак двойного интеграла

.

3. Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых функций

4. Если область s разбита на две не имеющие общих внутренних точек области s₁ и s₂, то:

.

5. Если во всех точках области s функции f(x,y) и j(x,y) удовлетворяют условию f(x,y)³j(x,y) то:

.

6. Если f(x,y) во всех точках области интегрирования s удовлетворяет неравенствам:

m£f(x,y)£M , то

m×S £ £ M×S,

где S – площадь области s.

7. Если функция f(x,y) непрерывна в замкнутой области s, то в этой области существует точка Р(a,b), такая, что

.