Двойные интегралы

Двойные интегралы представляют собой одно из возможных обобщений понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. К введению этого понятия естественным образом приводит решение задачи об объеме цилиндрического тела.

Рассмотрим тело V, которое сверху ограниченно поверхностью z=f(x,y), где f(x,y) – непрерывная функция, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси z, наконец снизу – областью s плоскости XOY (s - проекция поверхности S, заданной уравнением z=f(x,y) на плоскость XOY). Такое тело V будем называть цилиндрическим телом с основанием s (рис. 1). В частных случаях боковая поверхность может отсутствовать, например:

z=.

Рис. 1

Требуется найти объем этого цилиндрического тела.

Для решения этой задачи применим обычный в интегральном исчислении метод, состоящий в разложении искомой величины на элементарные части, приближенному подсчету каждой части, суммированию и последующему предельному переходу. С этой целью разобьем область s на n частей: Ds₁, Ds₂, …, Ds_n и рассмотрим ряд цилиндрических столбиков, которые имеют своими основаниями эти частичные области и в совокупности составляют данное тело. Напомним два принципа, из которых мы исходим при определении объема тела:

1. Если разбить тело на части, то его объем будет равен сумме объемов всех частей.

2. Объем прямого цилиндра, т.е. цилиндрического тела, ограниченного плоскостью, параллельной плоскости XOY, равен площади основания, умноженной на высоту тела.

Для определения объема DV₁ столбца с основанием Ds_i возьмем в области Ds_i произвольную точку P_i(x_i;y_i) и построим цилиндр с основанием Ds_i и высотой h_i=f(x_i;y_i). На Ds_i можно принять за приближенное значение объема DV_i:

DV_i»f(x_i;y_i) × Ds_i.

Рассмотрим V_n=f(x₁;y₁)Ds₁+ f(x₂;y₂)Ds₂+…+ f(x_n;y_n)Ds_n=.

Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным V_n, будем считать, что V_n тем точнее выражает V, чем больше n и чем меньше каждая из частичных областей.

Переходя к пределу при n®¥, мы будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к нулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры.

Назовем диаметром области наибольшее расстояние между точками ее границы. Если диаметр области устремить к нулю, то сама область будет стягиваться в точку. Обозначим через l максимальный из диаметров разбиения области s на части Ds₁, Ds₂, …, Ds_n. Если при стремлении l к нулю (l®0) интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называют двойным интегралом от функции f(x,y) по области s и обозначают символами:

или .

Здесь f(x,y) – подынтегральная функция, s - область интегрирования, x и у – переменные интегрирования, ds (dxdy) – элемент площади.

Таким образом, по определению

,

если этот предел существует и конечен.

Таким образом получим:

V=.

Функцию f(x,y), для которой существует двойной интеграл, будем называть интегрируемой в области s.